Sabendo que o ponto
pertence à reta que passa pelos pontos
e
, determinar
e
.
Escolha uma opção:
◯ a.
e
◯ b.
e
◯ c.
e
◯ d.
e
◯ e.
e
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá os pontos
-
, -
,
e diz que o pontopertence à reta que passa por e .
O que o problema pede:
- Determinar os valores de
e de modo que esteja sobre a reta . - Depois escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes dadas:
- Coordenadas de
: , , . - Coordenadas de
: , , . - Coordenadas do ponto
: , , .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e por que usar):
- Uma reta no espaço que passa por
e é facilmente descrita pela forma vetorial ou paramétrica. Isto é básico e rápido em prova: se é o vetor diretor, qualquer ponto da reta tem a forma para algum parâmetro . - Aqui usar a parametrização é a escolha mais direta porque conhecemos as coordenadas de
e e temos uma coordenada do ponto ( ) que permite achar sem esforço. Então vamos usar a parametrização.
Explicando o conceito de parâmetro:
- O vetor diretor
aponta na direção da reta. O parâmetro escala esse vetor; para retorna , para retorna , para outros dá outros pontos da reta. Saber isso já permite escrever as equações das coordenadas em função de .
Passo 3
Calcular o vetor diretor
.
Definição:
, coordenada a coordenada.
Logo,
Substituindo os valores:
Passo 4
Escrever a parametrização da reta
.
Forma vetorial:
.
Em coordenadas:
Aqui
varia e gera todos os pontos da reta. Cada equação dá a coordenada correspondente em função de
.
Passo 5
Usar a coordenada
do ponto
para encontrar
.
Sabemos que para
deve valer
. Pela parametrização:
Resolvendo para
:
Explicação: ao achar
estamos localizando exatamente qual posição ao longo da reta corresponde ao ponto
.
Passo 6
Encontrar
e
usando o valor de
nas equações das outras coordenadas.
Para
:
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (conferir consistência):
- Com
, a coordenada vale , que bate com . - Já calculamos
e . Assim é obtido na parametrização, logo pertence à reta . - Portanto os valores estão corretos.
Passo 8
Relacionar com as alternativas: os valores encontrados são
e
, que correspondem à alternativa (c).
Resposta
c.
e