Sabendo que o ponto P=(-1, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A=(2,-1,4) e B=(3,-2,1), determinar m e n.
Escolha uma opção:
◯ a. m=-10 e n=19
◯ b. m=2 e n=19
◯ c. m=2 e n=13
◯ d. m=-2 e n=13
◯ e. m=-10 e n=13

Passo 1

O enunciado dá os pontos
  • A=(2,-1,4),
  • B=(3,-2,1),
    e diz que o ponto P=(-1,m,n) pertence à reta que passa por A e B.
O que o problema pede:
  • Determinar os valores de m e n de modo que P esteja sobre a reta AB.
  • Depois escolher a opção correta entre as alternativas fornecidas.
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas de A: x_A=2, y_A=-1, z_A=4.
  • Coordenadas de B: x_B=3, y_B=-2, z_B=1.
  • Coordenadas do ponto P: x_P=-1, y_P=m, z_P=n.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e por que usar):
  • Uma reta no espaço que passa por A e B é facilmente descrita pela forma vetorial ou paramétrica. Isto é básico e rápido em prova: se \vec{AB} é o vetor diretor, qualquer ponto da reta tem a forma A + t\,\vec{AB} para algum parâmetro t.
  • Aqui usar a parametrização é a escolha mais direta porque conhecemos as coordenadas de A e B e temos uma coordenada do ponto P ( x_P) que permite achar t sem esforço. Então vamos usar a parametrização.
Explicando o conceito de parâmetro:
  • O vetor diretor \vec{AB} aponta na direção da reta. O parâmetro t escala esse vetor; para t=0 retorna A, para t=1 retorna B, para outros t dá outros pontos da reta. Saber isso já permite escrever as equações das coordenadas em função de t.

Passo 3

Calcular o vetor diretor \vec{AB}.
Definição: \vec{AB} = B - A, coordenada a coordenada.
Logo,
\vec{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A).
Substituindo os valores:
\vec{AB} = (3-2,\; -2-(-1),\; 1-4) = (1,\; -1,\; -3).

Passo 4

Escrever a parametrização da reta AB.
Forma vetorial: \; (x,y,z) = A + t\,\vec{AB} \;.
Em coordenadas:
x = 2 + t\cdot 1 = 2 + t,
y = -1 + t\cdot(-1) = -1 - t,
z = 4 + t\cdot(-3) = 4 - 3t.
Aqui t\in\mathbb{R} varia e gera todos os pontos da reta. Cada equação dá a coordenada correspondente em função de t.

Passo 5

Usar a coordenada x do ponto P para encontrar t.
Sabemos que para P deve valer x_P = -1. Pela parametrização:
-1 = 2 + t.
Resolvendo para t:
t = -1 - 2 = -3.
Explicação: ao achar t estamos localizando exatamente qual posição ao longo da reta corresponde ao ponto P.

Passo 6

Encontrar m e n usando o valor de t nas equações das outras coordenadas.
Para y:
y = -1 - t.
Substituindo t=-3:
m = y_P = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2.
Para z:
z = 4 - 3t.
Substituindo t=-3:
n = z_P = 4 - 3(-3) = 4 + 9 = 13.

Passo 7

Verificação rápida (conferir consistência):
  • Com t=-3, a coordenada x vale 2+t=2-3=-1, que bate com x_P.
  • Já calculamos y=2 e z=13. Assim P=(-1,2,13) é obtido na parametrização, logo pertence à reta AB.
  • Portanto os valores estão corretos.

Passo 8

Relacionar com as alternativas: os valores encontrados são m=2 e n=13, que correspondem à alternativa (c).

Resposta

c. m=2 e n=13

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