Questão 4 Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por:
T(x, y, z)=(x+y, y+z)
a) Determine uma base para o núcleo de T, isto é, ker(T).
b) Determine uma base para a imagem de T, isto é, Im(T).
c) Qual é a dimensão do núcleo e da imagem?

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;y+z)
O conteúdo aqui é núcleo e imagem de transformações lineares. Para achar ker(T) vamos resolver o sistema homogêneo
x+y=0, y+z=0,
e para achar Im(T) vamos ver quais vetores em R^2 são gerados pelas imagens de vetores de R^3.

Passo 2

Para
Da primeira equação . Tomando , obtemos
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Passo 3

Para Im(T) basta ver as imagens dos vetores da base canônica de R^3:
T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1), T(0,0,1)=(0,1)
Os vetores (1,0) e (0,1) já geram R^2, pois
(1,1)=(1,0)+(0,1)
Portanto
Im(T)=R^2=span(1,0),(0,1)

Passo 4

A dimensão do núcleo é o número de vetores da base de ker(T), ou seja
dimker(T)=1,
e a dimensão da imagem é o número de vetores da base de Im(T), logo
dimIm(T)=2

Resposta

a) Base de ker(T): (-1,1,-1).
b) Base de Im(T): (1,0),(0,1).
c) dimker(T)=1 e dimIm(T)=2.

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