Questão 4 Seja
a transformação linear definida por:
a) Determine uma base para o núcleo de
, isto é,
.
b) Determine uma base para a imagem de
, isto é,
.
c) Qual é a dimensão do núcleo e da imagem?
b) Determine uma base para a imagem de
c) Qual é a dimensão do núcleo e da imagem?
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O conteúdo aqui é núcleo e imagem de transformações lineares. Para achar
vamos resolver o sistema homogêneo
e para achar
vamos ver quais vetores em
são gerados pelas imagens de vetores de
.
Passo 2
Para
Da primeira equação . Tomando
, obtemos
Logo
Passo 3
Para
basta ver as imagens dos vetores da base canônica de
:
Os vetores
e
já geram
, pois
Portanto
Passo 4
A dimensão do núcleo é o número de vetores da base de
, ou seja
e a dimensão da imagem é o número de vetores da base de
, logo
Resposta
a) Base de
:
.
b) Base de :
.
c) e
.
b) Base de
c)