Questão 3 Seja W subset R^3 o conjunto definido por:
W=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y+z=0
Verifique se W é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z)in R^3 mid x + 2y + z = 0
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso vamos checar três propriedades:
  1. (0,0,0)in W.
  2. Fechamento sob soma: se u,vin W então u+vin W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se uin W e lambdainR então lambda uin W.

Passo 2

Verificamos o vetor nulo (0,0,0). Substituindo em x+2y+z temos
0 + 2cdot 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
x1 + 2y1 + z1 = 0 e x2 + 2y2 + z2 = 0
No vetor soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) temos
(x1+x2) + 2(y1+y2) + (z1+z2) = (x1+2y1+z1)+(x2+2y2+z2) = 0 + 0 = 0,
logo u+vin W.

Passo 4

Seja lambdainR e u=(x,y,z)in W com x+2y+z=0. No vetor lambda u=(lambda x,lambda y,lambda z) temos
lambda x + 2(lambda y) + lambda z = lambda,(x+2y+z) = lambda cdot 0 = 0,
portanto lambda uin W.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados