Questão 5 Seja V um espaço vetorial real qualquer de dimensão 42. Verifique se os subconjuntos W subseteq V são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine a dimensão. Caso negativo justifique:
(a) W é a interseção de todos os subspaços de V;
(b) W é a união de todos os subspaços de V.

Passo 1

Estamos em V, um espaço vetorial real de dimensão 42. Precisamos verificar se os dois subconjuntos abaixo são subespaços de V e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão (caso negativo, justificar por que não é subespaço). Vamos usar as definições de subespaço (contém o zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e algumas propriedades gerais de interseção e união de subespaços.

Passo 2

Definimos
W1 = capsubstackU <= V U,
isto é, a interseção de todos os subespaços U de V. Note que o subespaço nulo 0 está entre esses U. Como 0 só contém o vetor zero, qualquer vetor não-nulo de V não pertence a 0 e, portanto, não pode pertencer à interseção. Logo
W1 = 0
Esse conjunto satisfaz trivialmente as três condições de subespaço e é de dimensão zero.

Passo 3

Definimos
W2 = cupsubstackU <= V U,
isto é, a união de todos os subespaços de V. Entre esses U está o próprio V. Como V contém todos os demais subespaços, a união fica
W2 = V
Logo W2 é um subespaço (é exatamente V) e sua dimensão é a mesma de V, ou seja, 42.

Resposta

(a) W=capU<= VU=0, é subespaço de dimensão 0.
(b) W=cupU<= VU=V, é subespaço de dimensão 42.

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