Questão 5 Seja
um espaço vetorial real qualquer de dimensão 42. Verifique se os subconjuntos
são subspaços vetoriais de
. Caso afirmativo, determine a dimensão. Caso negativo justifique:
(a)
é a interseção de todos os subspaços de
;
(b)
é a união de todos os subspaços de
.
(a)
(b)
Passo 1
Estamos em
, um espaço vetorial real de dimensão
. Precisamos verificar se os dois subconjuntos abaixo são subespaços de
e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão (caso negativo, justificar por que não é subespaço). Vamos usar as definições de subespaço (contém o zero, fechado sob soma e multiplicação escalar) e algumas propriedades gerais de interseção e união de subespaços.
Passo 2
Definimos
isto é, a interseção de todos os subespaços
de
. Note que o subespaço nulo
está entre esses
. Como
só contém o vetor zero, qualquer vetor não-nulo de
não pertence a
e, portanto, não pode pertencer à interseção. Logo
Esse conjunto satisfaz trivialmente as três condições de subespaço e é de dimensão zero.
Passo 3
Definimos
isto é, a união de todos os subespaços de
. Entre esses
está o próprio
. Como
contém todos os demais subespaços, a união fica
Logo
é um subespaço (é exatamente
) e sua dimensão é a mesma de
, ou seja,
.
Resposta
(a)
, é subespaço de dimensão
.
(b) , é subespaço de dimensão
.
(b)