Questão 3 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=P2(X) subseteq R[X], W=p in V ; p(1)=p(0).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=P2(X) (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W = pin V mid p(1)=p(0)
O conteúdo aqui é caracterizar subespaços definidos por condições lineares e, se for subespaço, encontrar uma base.

Passo 2

Escrevendo um polinômio genérico de V como
p(x)=a x^2 + b x + c,
a condição p(1)=p(0)
a + b + c = c ;Longrightarrow; a + b = 0 ;Longrightarrow; b = -a
Logo
p(x)=a(x^2 - x) + c,
com a,cinR.

Passo 3

A aplicação linear Lcolon VtoR dada por L(p)=p(1)-p(0) tem núcleo W, logo W é subespaço de V.

Passo 4

Como todo pin W escreve-se como combinação linear de X^2-X e 1, esses vetores são linearmente independentes e geram W. Portanto
W=spanX^2-X,;1

Resposta

Sim, W é subespaço de V e uma base de W é X^2 - X,;1.

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