Questão 3 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=M2 times 2(C) sobre R, W=A in V ; A^*=-A.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M2times2(C) sobre R e o subconjunto
W=Ain Vmid A^*=-A,
ou seja, o conjunto das matrizes 2×2 complexas que são skew-Hermitian. Temos de verificar se W é subespaço de V e, em caso afirmativo, dar uma base.

Passo 2

Sejam A,Bin W e lambdainR. Então
(A+B)^* = A^* + B^* = -A - B = -(A+B),
(lambda A)^* = lambda,A^* = lambda(-A) = -(lambda A)
Logo W é subespaço de V.

Passo 3

Uma matriz genérica satisfaz . Escrevendo
temos , (logo são puramente imaginários) e . Seja
com . Assim

Passo 4

Dos coeficientes reais vemos que e uma base é

Resposta

W é subespaço vetorial de V e
B1,B2,B3,B4
é uma base de W.

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