Todas as respostas devem ser justificadas
Questão (valor:
pontos)
Seja
o espaço vetorial real com as operações definidas abaixo:
Verifique se
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com operações não usuais:
e define o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço de
.
Dados relevantes: as fórmulas das operações e
e a definição de
. Não se começou a resolver aqui; só listei o que o problema dá e o que pede.
Dados relevantes: as fórmulas das operações
Passo 2
Lembrando (explicando passo a passo): para um subconjunto
ser subespaço de
(com as operações dadas), é necessário e suficiente que (i)
não seja vazio e (ii)
seja fechado por adição
e por multiplicação escalar
. Um critério prático e muito usado é: todo subespaço deve conter o vetor nulo de
(o elemento neutro da adição em
); se o vetor nulo de
não estiver em
, então
não pode ser subespaço. Vou encontrar o vetor nulo de
(o “zero” para a operação
).
Passo 3
Definição do vetor nulo:
é o elemento neutro de
se, para todo
,
Usando a fórmula de
temos a igualdade
que deve valer para todo
. Comparando coordenadas obtemos as equações
Logo
Portanto o vetor nulo de
(com as operações dadas) é
Passo 4
Agora verifico se esse vetor nulo pertence a
. Pela definição de
precisamos ter
. Para
calculo
Portanto
. Como todo subespaço deve conter o vetor nulo do espaço ambiente, a ausência do vetor nulo em
já é prova imediata de que
não é subespaço de
. (Justificativa: se
fosse subespaço então, em particular, o neutro aditivo de
estaria em
.)
Passo 5
Para reforçar a ideia com um contraexemplo concreto de fechamento por adição: note que
porque
. Mas
E
porque
. Assim
não é fechado por
. Isso é outra forma direta de ver que
não é subespaço.