Todas as respostas devem ser justificadas

1^{\circ} Questão (valor: \mathbf{6 , 0} pontos)

Seja V=R^{2} o espaço vetorial real com as operações definidas abaixo:
\begin{gathered} \left(x_{1}, x_{2}\right) \oplus\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1}+1, x_{2}+y_{2}-3\right) \\\ \alpha \odot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1}+\alpha-1, \alpha x_{2}-3 \alpha+3\right) \end{gathered}
Verifique se W=\left\{\left(x, y \quad \in \mathbb{R}^{2}: x+y \quad=0\right\}\right. é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} com operações não usuais:
\left(x_{1}, x_{2}\right)\oplus\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+y_{1}+1,\;x_{2}+y_{2}-3\right)
\alpha\odot\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1}+\alpha-1,\;\alpha x_{2}-3\alpha+3\right)
e define o subconjunto
W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\;x+y=0\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço de V.
Dados relevantes: as fórmulas das operações \oplus e \odot e a definição de W. Não se começou a resolver aqui; só listei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Lembrando (explicando passo a passo): para um subconjunto W\subseteq V ser subespaço de V (com as operações dadas), é necessário e suficiente que (i) W não seja vazio e (ii) W seja fechado por adição \oplus e por multiplicação escalar \odot. Um critério prático e muito usado é: todo subespaço deve conter o vetor nulo de V (o elemento neutro da adição em V); se o vetor nulo de V não estiver em W, então W não pode ser subespaço. Vou encontrar o vetor nulo de V (o “zero” para a operação \oplus).

Passo 3

Definição do vetor nulo: z=(a,b)\in\mathbb{R}^{2} é o elemento neutro de \oplus se, para todo (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2},
(x_{1},x_{2})\oplus(a,b)=(x_{1},x_{2}).
Usando a fórmula de \oplus temos a igualdade
(x_{1}+a+1,\;x_{2}+b-3)=(x_{1},x_{2})
que deve valer para todo (x_{1},x_{2}). Comparando coordenadas obtemos as equações
x_{1}+a+1=x_{1}\quad\Rightarrow\quad a+1=0,
x_{2}+b-3=x_{2}\quad\Rightarrow\quad b-3=0.
Logo
a=-1,\qquad b=3.
Portanto o vetor nulo de V (com as operações dadas) é
z=(-1,3).

Passo 4

Agora verifico se esse vetor nulo pertence a W. Pela definição de W precisamos ter x+y=0. Para z=(-1,3) calculo
-1+3=2\neq 0.
Portanto z\notin W. Como todo subespaço deve conter o vetor nulo do espaço ambiente, a ausência do vetor nulo em W já é prova imediata de que W não é subespaço de V. (Justificativa: se W fosse subespaço então, em particular, o neutro aditivo de V estaria em W.)

Passo 5

Para reforçar a ideia com um contraexemplo concreto de fechamento por adição: note que (0,0)\in W porque 0+0=0. Mas
(0,0)\oplus(0,0)=(0+0+1,\;0+0-3)=(1,-3).
E (1,-3)\notin W porque 1+(-3)=-2\neq 0. Assim W não é fechado por \oplus. Isso é outra forma direta de ver que W não é subespaço.

Resposta

W não é um subespaço de V.

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