Sejam \beta=\{(2,0),(0,2)\} e \alpha=\{(\sqrt{3}, 1),(\sqrt{3},-1)\} bases ordenadas de R^{2}.
Ache [I]_{\alpha}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de \mathbb{R}^2:
\beta=\{(2,0),(0,2)\}, \qquad \alpha=\{(\sqrt{3},1),(\sqrt{3},-1)\}.
Pede para achar [I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}.
Informações relevantes listadas:
  • As duas bases estão explícitas (cada elemento é um vetor em \mathbb{R}^2).
  • [I]_{\alpha}^{\beta} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas em \alpha e dá coordenadas em \beta.
  • [I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas em \beta e dá coordenadas em \alpha.

Passo 2

O que significa calcular [I]_{\alpha}^{\beta} na prática? Vou explicar devagarinho.
Definição prática (passo a passo):
  • Se \beta=\{b_1,b_2\}, qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como
v = x\,b_1 + y\,b_2,
e o vetor de coordenadas de v relativo a \beta é a coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
  • Para obter [I]_{\alpha}^{\beta} basta pegar cada vetor da base \alpha e escrever suas coordenadas em relação à base \beta. Essas coordenadas formam as colunas de [I]_{\alpha}^{\beta}.
Vou aplicar isso: os vetores de \alpha são u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1). A base \beta tem b_1=(2,0) e b_2=(0,2). Preciso achar os coeficientes a,b tais que
u = a\,b_1 + b\,b_2 = (2a,2b).
Assim, para cada u_i\in\alpha resolvo um sistema simples de duas equações 2a = \text{(primeira componente de }u) e 2b = \text{(segunda componente de }u).

Passo 3

Calcular as coordenadas de u_1=(\sqrt{3},1) na base \beta.
Escrevo
(\sqrt{3},1) = a(2,0) + b(0,2) = (2a,2b).
Igualando componentes:
2a = \sqrt{3},\qquad 2b = 1.
Resolvo:
a = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad b = \frac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de u_1 em \beta são \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\frac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular as coordenadas de u_2=(\sqrt{3},-1) na base \beta.
Escrevo
(\sqrt{3},-1) = a(2,0) + b(0,2) = (2a,2b).
Igualando componentes:
2a = \sqrt{3},\qquad 2b = -1.
Resolvo:
a = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad b = -\frac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de u_2 em \beta são \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Formo a matriz [I]_{\alpha}^{\beta} usando as coordenadas de u_1 e u_2 como colunas (na ordem da base \alpha):
[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora [I]_{\beta}^{\alpha} pode ser obtida de duas formas equivalentes:
  • calcular diretamente as coordenadas dos vetores da base \beta relativamente à base \alpha, ou
  • inverter a matriz [I]_{\alpha}^{\beta} (pois são matrizes inversas entre si).
    Vou fazer o caminho direto para treinar o procedimento: escrever cada vetor de \beta como combinação linear dos vetores de \alpha.
Se \alpha=\{u_1,u_2\} com u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1), procuro coeficientes c,d tais que
(2,0) = c\,u_1 + d\,u_2 = c(\sqrt{3},1) + d(\sqrt{3},-1) = \big((c+d)\sqrt{3},\,c-d\big).
Isso dá um sistema em c,d.

Passo 7

Resolver para (2,0):
(c+d)\sqrt{3} = 2,\qquad c-d = 0.
Da segunda equação c=d. Então da primeira:
2c\sqrt{3} = 2 \implies c = \frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo d = \frac{1}{\sqrt{3}}. As coordenadas de (2,0) em \alpha são \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\[4pt]\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver para (0,2): procuro c',d' tais que
(0,2) = c'(\sqrt{3},1) + d'(\sqrt{3},-1) = \big((c'+d')\sqrt{3},\,c'-d'\big).
Igualando:
(c'+d')\sqrt{3} = 0,\qquad c' - d' = 2.
Da primeira equação c' + d' = 0 \implies d' = -c'. Substituindo na segunda:
c' - (-c') = 2 \implies 2c' = 2 \implies c' = 1,\quad d' = -1.
As coordenadas de (0,2) em \alpha são \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Formo a matriz [I]_{\beta}^{\alpha} usando essas coordenadas como colunas (na ordem da base \beta):
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 10

Checagem rápida (opcional, só para ficar tranquilo): multiplicando as duas matrizes obtidas devemos ter a identidade:
\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
o que confirma que são inversas, como esperado.]

Resposta

[I]_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{3}} & -1 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados