Pede para achar [I]_{\alpha}^{\beta} e [I]_{\beta}^{\alpha}.
Informações relevantes listadas:
As duas bases estão explícitas (cada elemento é um vetor em \mathbb{R}^2).
[I]_{\alpha}^{\beta} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas em \alpha e dá coordenadas em \beta.
[I]_{\beta}^{\alpha} é a matriz da transformação identidade que toma coordenadas em \beta e dá coordenadas em \alpha.
Passo 2
O que significa calcular [I]_{\alpha}^{\beta} na prática? Vou explicar devagarinho.
Definição prática (passo a passo):
Se \beta=\{b_1,b_2\}, qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2 pode ser escrito de forma única como
v = x\,b_1 + y\,b_2,
e o vetor de coordenadas de v relativo a \beta é a coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Para obter [I]_{\alpha}^{\beta} basta pegar cada vetor da base \alpha e escrever suas coordenadas em relação à base \beta. Essas coordenadas formam as colunas de [I]_{\alpha}^{\beta}.
Vou aplicar isso: os vetores de \alpha são u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1). A base \beta tem b_1=(2,0) e b_2=(0,2). Preciso achar os coeficientes a,b tais que
u = a\,b_1 + b\,b_2 = (2a,2b).
Assim, para cada u_i\in\alpha resolvo um sistema simples de duas equações 2a = \text{(primeira componente de }u) e 2b = \text{(segunda componente de }u).
Passo 3
Calcular as coordenadas de u_1=(\sqrt{3},1) na base \beta.
Escrevo
(\sqrt{3},1) = a(2,0) + b(0,2) = (2a,2b).
Igualando componentes:
2a = \sqrt{3},\qquad 2b = 1.
Resolvo:
a = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad b = \frac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de u_1 em \beta são \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\frac{1}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 4
Calcular as coordenadas de u_2=(\sqrt{3},-1) na base \beta.
Escrevo
(\sqrt{3},-1) = a(2,0) + b(0,2) = (2a,2b).
Igualando componentes:
2a = \sqrt{3},\qquad 2b = -1.
Resolvo:
a = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad b = -\frac{1}{2}.
Portanto as coordenadas de u_2 em \beta são \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]-\frac{1}{2}\end{pmatrix}.]
Passo 5
Formo a matriz [I]_{\alpha}^{\beta} usando as coordenadas de u_1 e u_2 como colunas (na ordem da base \alpha):
Agora [I]_{\beta}^{\alpha} pode ser obtida de duas formas equivalentes:
calcular diretamente as coordenadas dos vetores da base \beta relativamente à base \alpha, ou
inverter a matriz [I]_{\alpha}^{\beta} (pois são matrizes inversas entre si).
Vou fazer o caminho direto para treinar o procedimento: escrever cada vetor de \beta como combinação linear dos vetores de \alpha.
Se \alpha=\{u_1,u_2\} com u_1=(\sqrt{3},1) e u_2=(\sqrt{3},-1), procuro coeficientes c,d tais que