Nos problemas a seguir, determine a equação diferencial correspondente e encontre sua solução:
Numa máquina, há um bloco de 10 kg acoplado a uma mola, com constante elástica igual a 20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A partir da posição inicial igual a 0 m , esse sistema massa-mola é solto com velocidade inicial de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a expressão que fornece a posição do bloco em qualquer instante \mathbf{t}. Qual é a posição do bloco após \left(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}}\right) s ? E após \left(\frac{5 \pi}{2 \sqrt{2}}\right) s? Explique esses dois resultados encontrados.
\text { Solução: } x(t)=\sqrt{2} \operatorname{sen} \sqrt{2} tçã

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
  • Massa do bloco: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=20\\ \mathrm{N/m}.
  • Condições iniciais: posição inicial x(0)=0 e velocidade inicial x'(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a equação diferencial que descreve o movimento.
    2. Encontrar a solução x(t) que satisfaz as condições iniciais.
    3. Calcular x\!\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right).
    4. Calcular x\!\left(\dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}}\right).
    5. Explicar por que os dois resultados (3) e (4) têm o valor obtido.

Passo 2

Montando a equação diferencial: explicar fisicamente e matematicamente.
  • Força da mola é dada por \,-k x (lei de Hooke), atuando sobre a massa.
  • Pela segunda lei de Newton, soma das forças = m x''. Aqui a única força (na direção do deslocamento) é a da mola: m x'' = -k x.
  • Reescrevendo em forma padrão, obtemos a equação diferencial de movimento:
m x'' + k x = 0.
  • Substituindo m e k dados, podemos escrever explicitamente:
10\,x'' + 20\,x = 0.
  • Dividindo por 10 para simplificar:
x'' + 2\,x = 0.
Comentário didático: essa é a equação do oscilador harmônico simples (sem amortecimento). É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Resolver a equação homogênea: forma geral e significado das constantes.
  • Para a equação
x'' + \omega^2 x = 0,
a solução geral é
x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais, e \omega é a frequência angular, definida por \omega^2 = \dfrac{k}{m}.
  • Aqui temos \dfrac{k}{m} = \dfrac{20}{10} = 2. Logo
\omega^2 = 2\quad\Rightarrow\quad \omega = \sqrt{2}.
  • Então a solução geral para nosso caso é
x(t) = A\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big) + B\sin\!\big(\sqrt{2}\,t\big).
Explicação do que representam A e B: A é a posição inicial (quando t=0) e B está ligada à velocidade inicial (multiplicada por 1/\omega).

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B.
  • Usar x(0)=0. Substituindo t=0:
x(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Portanto
A=0.
  • Agora calcular x'(t) para usar x'(0)=2. Derivando a solução:
x'(t) = -A\omega\sin(\omega t) + B\omega\cos(\omega t).
Com A=0 e \omega=\sqrt{2},
x'(t) = B\sqrt{2}\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big).
  • Usando x'(0)=2:
x'(0)=B\sqrt{2}\cos 0 = B\sqrt{2}\cdot 1 = B\sqrt{2} = 2.
Isolando B:
B=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
  • Assim, a solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{2}\,t\big).

Passo 5

Interpretar a solução: amplitude, período e velocidade instantânea.
  • Amplitude A_{\text{amp}} = \sqrt{2}\\ \mathrm{m} (valor máximo do módulo do deslocamento).
  • Período do movimento:
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{\sqrt{2}}=\pi\sqrt{2}.
  • Velocidade geral (derivada de x(t)):
x'(t)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big)=2\cos\!\big(\sqrt{2}\,t\big).
Observação física: os extremos de deslocamento (máximos positivos ou negativos) ocorrem quando a velocidade é zero, isto é, quando \cos(\sqrt{2}\,t)=0, e nesses instantes \operatorname{sen}(\sqrt{2}\,t)=\pm 1.

Passo 6

Calcular x\!\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right).
  • Primeiro calcular o argumento do seno:
\sqrt{2}\cdot \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\pi}{2}.
  • Então
x\!\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
  • Veja também que t=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} = \dfrac{T}{4} (um quarto do período), instante em que o bloco atinge o deslocamento máximo positivo; por isso a velocidade é zero nesse instante: x'\!\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)=2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.

Passo 7

Calcular x\!\left(\dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}}\right) e explicar por que coincide com o anterior.
  • Calcular o argumento:
\sqrt{2}\cdot \dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}} = \dfrac{5\pi}{2}.
  • Lembrando propriedades do seno, \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}+2\pi\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • Logo
x\!\left(\dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação física simples: \dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}} + \dfrac{2\pi}{\sqrt{2}} = \dfrac{T}{4} + T. Ou seja, é o mesmo instante na fase da oscilação, só que uma volta completa depois; por isso o deslocamento e a velocidade têm os mesmos valores que em t=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}. Em particular a velocidade também é zero aí.

Resposta

Equação diferencial: x'' + 2x = 0
Solução com as condições iniciais: x(t)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\big(\sqrt{2}\,t\big)
x\!\left(\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}
x\!\left(\dfrac{5\pi}{2\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}

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