Nos problemas a seguir, determine a equação diferencial correspondente e encontre sua solução:
Numa máquina, há um bloco de 10 kg acoplado a uma mola, com constante elástica igual a
. A partir da posição inicial igual a 0 m , esse sistema massa-mola é solto com velocidade inicial de
. Determine a expressão que fornece a posição do bloco em qualquer instante
. Qual é a posição do bloco após
? E após
s? Explique esses dois resultados encontrados.
Numa máquina, há um bloco de 10 kg acoplado a uma mola, com constante elástica igual a
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo claramente):
- Massa do bloco:
. - Constante elástica da mola:
. - Condições iniciais: posição inicial
e velocidade inicial . - Perguntas:
- Determinar a equação diferencial que descreve o movimento.
- Encontrar a solução
que satisfaz as condições iniciais. - Calcular
. - Calcular
. - Explicar por que os dois resultados (3) e (4) têm o valor obtido.
Passo 2
Montando a equação diferencial: explicar fisicamente e matematicamente.
- Força da mola é dada por
(lei de Hooke), atuando sobre a massa. - Pela segunda lei de Newton, soma das forças
. Aqui a única força (na direção do deslocamento) é a da mola: . - Reescrevendo em forma padrão, obtemos a equação diferencial de movimento:
- Substituindo
e dados, podemos escrever explicitamente:
- Dividindo por
para simplificar:
Comentário didático: essa é a equação do oscilador harmônico simples (sem amortecimento). É uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Resolver a equação homogênea: forma geral e significado das constantes.
- Para a equação
a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
é a frequência angular, definida por
.
- Aqui temos
. Logo
- Então a solução geral para nosso caso é
Explicação do que representam
e
:
é a posição inicial (quando
) e
está ligada à velocidade inicial (multiplicada por
).
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
- Usar
. Substituindo :
Portanto
- Agora calcular
para usar . Derivando a solução:
Com
e
,
- Usando
:
Isolando
:
- Assim, a solução que satisfaz as condições iniciais é
Passo 5
Interpretar a solução: amplitude, período e velocidade instantânea.
- Amplitude
(valor máximo do módulo do deslocamento). - Período do movimento:
- Velocidade geral (derivada de
):
Observação física: os extremos de deslocamento (máximos positivos ou negativos) ocorrem quando a velocidade é zero, isto é, quando
, e nesses instantes
.
Passo 6
Calcular
.
- Primeiro calcular o argumento do seno:
- Então
- Veja também que
(um quarto do período), instante em que o bloco atinge o deslocamento máximo positivo; por isso a velocidade é zero nesse instante: .
Passo 7
Calcular
e explicar por que coincide com o anterior.
- Calcular o argumento:
- Lembrando propriedades do seno,
. - Logo
- Interpretação física simples:
. Ou seja, é o mesmo instante na fase da oscilação, só que uma volta completa depois; por isso o deslocamento e a velocidade têm os mesmos valores que em . Em particular a velocidade também é zero aí.
Resposta
Equação diferencial:
Solução com as condições iniciais:
Solução com as condições iniciais: