e dá as alternativas (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) um limite não existe. Vou calcular cada limite separadamente e somar.
Passo 2
Cálculo de A. Observação: a função \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está limitada entre -1 e 1 sempre que definida (para x\neq0). Logo, para pontos do domínio com x\neq0 vale
A ideia é usar o Teorema do Confronto (squeeze): se uma função g(x,y) satisfaz -h(x,y)\le g(x,y)\le h(x,y) e \lim h(x,y)=0 quando (x,y)\to(0,0), então \lim g(x,y)=0. Aqui h(x,y)=|x+y| e temos \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x+y|=0. Mesmo que a função não esteja definida em pontos com x=0, consideramos limites ao longo de pontos do domínio que se aproximam de (0,0) — o argumento vale. Portanto
A=0.
Passo 3
Cálculo de B. Primeiro use a desigualdade clássica para o cosseno: para todo t\in\mathbb{R},
|1-\cos t|\le \frac{t^{2}}{2},
pois a expansão de Taylor dá \cos t \ge 1 - t^{2}/2. Tomando t=\sqrt{xy} (note que, para t real, precisamos de xy\ge0; isso apenas restringe o domínio, mas o limite que procuramos deve ser o mesmo ao aproximar por pontos do domínio), obtemos
Usamos os limites clássicos de série pequena: \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Assim quando r\to0^{+} temos \dfrac{\sin(r^{2})}{r^{2}}\to1 e \dfrac{\sin(r/2)}{r/2}\to1. Consequentemente