QUESTÃO 4

Considere os limites
A=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}(x+y) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right), \quad B=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \sqrt{x y}}{x}, \quad C=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O valor de
A+B+C
é igual a
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) Um dos limites não existe e não é possível fazer a soma

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Definimos os três limites
A=\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x+y)\sin\!\left(\frac{1}{x}\right),
B=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos\sqrt{xy}}{x},
C=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}{1-\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O problema pede o valor de
A+B+C,
e dá as alternativas (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) um limite não existe. Vou calcular cada limite separadamente e somar.

Passo 2

Cálculo de A. Observação: a função \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right) está limitada entre -1 e 1 sempre que definida (para x\neq0). Logo, para pontos do domínio com x\neq0 vale
\left|(x+y)\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le |x+y|.
A ideia é usar o Teorema do Confronto (squeeze): se uma função g(x,y) satisfaz -h(x,y)\le g(x,y)\le h(x,y) e \lim h(x,y)=0 quando (x,y)\to(0,0), então \lim g(x,y)=0. Aqui h(x,y)=|x+y| e temos \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x+y|=0. Mesmo que a função não esteja definida em pontos com x=0, consideramos limites ao longo de pontos do domínio que se aproximam de (0,0) — o argumento vale. Portanto
A=0.

Passo 3

Cálculo de B. Primeiro use a desigualdade clássica para o cosseno: para todo t\in\mathbb{R},
|1-\cos t|\le \frac{t^{2}}{2},
pois a expansão de Taylor dá \cos t \ge 1 - t^{2}/2. Tomando t=\sqrt{xy} (note que, para t real, precisamos de xy\ge0; isso apenas restringe o domínio, mas o limite que procuramos deve ser o mesmo ao aproximar por pontos do domínio), obtemos
\left|\frac{1-\cos\sqrt{xy}}{x}\right|\le \frac{(\sqrt{xy})^{2}}{2|x|}=\frac{|y|}{2}.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}|y|/2=0, pelo Teorema do Confronto segue que
B=0.

Passo 4

Cálculo de C. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então r\ge0 e (x,y)\to(0,0) equivale a r\to0^{+}. Reescrevemos a expressão em termos de r:
\frac{\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)}{1-\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{\sin(r^{2})}{1-\cos r}.
Use a identidade 1-\cos r=2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r}{2}\right). Assim
\frac{\sin(r^{2})}{1-\cos r} =\frac{\sin(r^{2})}{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r}{2}\right)} =\frac{\sin(r^{2})}{r^{2}}\cdot \frac{r^{2}}{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r}{2}\right)}.
Agora manipule o segundo fator: com a=\dfrac{r}{2} temos r^{2}=4a^{2} e
\frac{r^{2}}{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r}{2}\right)} =2\cdot\frac{a^{2}}{\sin^{2} a} =2\cdot\left(\frac{1}{\dfrac{\sin a}{a}}\right)^{2}.
Portanto
\frac{\sin(r^{2})}{1-\cos r} =\frac{\sin(r^{2})}{r^{2}}\cdot 2\cdot\left(\frac{1}{\dfrac{\sin(r/2)}{r/2}}\right)^{2}.
Usamos os limites clássicos de série pequena: \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Assim quando r\to0^{+} temos \dfrac{\sin(r^{2})}{r^{2}}\to1 e \dfrac{\sin(r/2)}{r/2}\to1. Consequentemente
C=\lim_{r\to0^{+}}\frac{\sin(r^{2})}{1-\cos r}=1\cdot 2\cdot\frac{1}{1^{2}}=2.

Passo 5

Somando os resultados encontrados:
A+B+C=0+0+2=2.
Comparando com as alternativas, a correta é a opção (C) 2.

Resposta

(C) 2

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