Questão
. Seja
é função
o anel da funções com a soma e produto ponto a ponto (usuais). Fixado
, mostre que
onde
.
Passo 1
O enunciado trabalha com o anel
com soma e produto definidos ponto a ponto, e o subconjunto .
Queremos mostrar que o quociente de anéis
é isomorfo a .
O resultado se obtém aplicando o Teorema do Isomorfismo para anéis, ou seja, exibindo um homomorfismo de em
cujo núcleo seja exatamente
e cuja imagem seja todo
.
com soma e produto definidos ponto a ponto, e o subconjunto
Queremos mostrar que o quociente de anéis
é isomorfo a
O resultado se obtém aplicando o Teorema do Isomorfismo para anéis, ou seja, exibindo um homomorfismo de
Passo 2
Definimos o mapa de avaliação em
:
Verificamos que
é homomorfismo de anéis:
- Para soma,
- Para produto,
-
, pois a função constante 1 avaliada em vale 1.
Passo 3
O núcleo de
é
Logo
é ideal de
, pois é núcleo de um homomorfismo.
Passo 4
Para ver que
é sobrejetor, dado qualquer
basta tomar a função constante
Então
, mostrando
.
Passo 5
Pelo Teorema do Isomorfismo para anéis,
Como
e
, segue