Questão 4(1,5). Seja \mathfrak{F}=\{f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f é função \} o anel da funções com a soma e produto ponto a ponto (usuais). Fixado a \in \mathbb{R}, mostre que
\frac{\mathfrak{F}}{\mathfrak{F}_{a}} \cong \mathbb{R}
onde \mathfrak{F}_{a}=\{f \in \mathfrak{F}: f(a)=0\}.

Passo 1

O enunciado trabalha com o anel \mathfrak{F}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\}
com soma e produto definidos ponto a ponto, e o subconjunto \mathfrak{F}_{a}=\{f\in\mathfrak{F}:f(a)=0\}.
Queremos mostrar que o quociente de anéis \mathfrak{F}/\mathfrak{F}_{a}
é isomorfo a \mathbb{R}.
O resultado se obtém aplicando o Teorema do Isomorfismo para anéis, ou seja, exibindo um homomorfismo de \mathfrak{F} em \mathbb{R} cujo núcleo seja exatamente \mathfrak{F}_{a} e cuja imagem seja todo \mathbb{R}.

Passo 2

Definimos o mapa de avaliação em a:
\varphi:\mathfrak{F}\longrightarrow\mathbb{R},\qquad \varphi(f)=f(a).
Verificamos que \varphi é homomorfismo de anéis:
  1. Para soma,
\varphi(f+g)=(f+g)(a)=f(a)+g(a)=\varphi(f)+\varphi(g).
  1. Para produto,
\varphi(fg)=(fg)(a)=f(a)\,g(a)=\varphi(f)\,\varphi(g).
  1. \varphi(1_{\mathfrak F})=1_{\mathbb R}, pois a função constante 1 avaliada em a vale 1.

Passo 3

O núcleo de \varphi é
\ker(\varphi)=\{\,f\in\mathfrak{F}: \varphi(f)=0\} =\{\,f\in\mathfrak{F}: f(a)=0\} =\mathfrak{F}_{a}.
Logo \mathfrak{F}_{a} é ideal de \mathfrak{F}, pois é núcleo de um homomorfismo.

Passo 4

Para ver que \varphi é sobrejetor, dado qualquer r\in\mathbb{R} basta tomar a função constante
f(x)=r,\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Então \varphi(f)=f(a)=r, mostrando \varphi(\mathfrak{F})=\mathbb{R}.

Passo 5

Pelo Teorema do Isomorfismo para anéis,
\mathfrak{F}/\ker(\varphi)\;\cong\;\mathrm{Im}(\varphi).
Como \ker(\varphi)=\mathfrak{F}_{a} e \mathrm{Im}(\varphi)=\mathbb{R}, segue
\frac{\mathfrak{F}}{\mathfrak{F}_{a}}\;\cong\;\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \mathfrak{F}/\mathfrak{F}_{a}\cong\mathbb{R}.

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