Questão 1. Sejam a, b, c in Z. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, demonstrando as verdadeiras e dando contra-exemplos para as falsas.
a|b Rightarrow(a c)|(b c);

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, para a,b,cinZ, a condição
amid bLongrightarrow (a,c)mid(b,c)
é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é divisibilidade em Z, e vamos usar a definição: xmid y significa que existe um inteiro k tal que y = x,k.

Passo 2

Suponha que amid b. Então, pela definição de divisibilidade, existe minZ tal que
b = a,m

Passo 3

Multiplicando a igualdade b = a,m por c, obtemos
b,c = (a,m),c = a,(m,c) = (a,c),m
Isto mostra que existe o inteiro m (o mesmo de antes) satisfazendo b,c = (a,c),m, ou seja, pelo definição, (a,c)mid(b,c).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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