Questão 4. Sejam
e
números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
(Reflexividade)
.
(Reflexividade)
Passo 1
O enunciado dá que
são números naturais (ou seja,
) e pede que se prove a propriedade de ordem chamada reflexividade: mostrar que
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é um elemento de . - A afirmação a provar é:
.
Passo 2
Vou primeiro deixar clara a definição de
que vou usar (a mais comum para naturais):
Definição: para , dizemos que
se, e somente se, existe
tal que
Definição: para
Explicação didática: isso significa que
é maior ou igual a
quando a diferença
é um número natural. O papel de
é exatamente ser essa diferença não negativa. Para provar
basta encontrar um
que satisfaça a igualdade.
Passo 3
Agora lembro uma propriedade básica da adição em
(definida recursivamente a partir dos axiomas de Peano): para todo
vale
Esta igualdade é uma regra primária da definição de soma em naturais: somar zero não altera o número. Intuição simples:
,
, etc.
Passo 4
Construção do argumento para reflexividade: seja um
arbitrário. Pela propriedade anterior temos
Como
, isto mostra que existe
(escolhendo
) tal que
. Pela definição de
(Passo 2), isso implica exatamente que
Passo 5
Interpretação final e exemplo concreto: a prova é muito curta justamente porque a definição de
nos pede um número natural
com
, e o
funciona sempre graças a
. Exemplos:
mostra
;
mostra
. Isso vale para qualquer
.
Passo 6
Comentário de encorajamento: a reflexividade é a parte mais simples das propriedades de ordem — é normal se sentir inseguro no começo, mas aqui a ideia é só usar a definição e lembrar que somar zero não muda o número. Bons estudos!