Questão 4. Sejam a, b e c números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
(Reflexividade) a \geq a.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números naturais (ou seja, a,b,c\in\mathbb{N}) e pede que se prove a propriedade de ordem chamada reflexividade: mostrar que a\ge a.
Informações relevantes fornecidas:
  • a é um elemento de \mathbb{N}.
  • A afirmação a provar é: a\ge a.

Passo 2

Vou primeiro deixar clara a definição de \ge que vou usar (a mais comum para naturais):
Definição: para x,y\in\mathbb{N}, dizemos que x\ge y se, e somente se, existe k\in\mathbb{N} tal que
x = y + k.
Explicação didática: isso significa que x é maior ou igual a y quando a diferença x-y é um número natural. O papel de k é exatamente ser essa diferença não negativa. Para provar x\ge y basta encontrar um k\in\mathbb{N} que satisfaça a igualdade.

Passo 3

Agora lembro uma propriedade básica da adição em \mathbb{N} (definida recursivamente a partir dos axiomas de Peano): para todo n\in\mathbb{N} vale
n + 0 = n.
Esta igualdade é uma regra primária da definição de soma em naturais: somar zero não altera o número. Intuição simples: 5+0=5, 0+0=0, etc.

Passo 4

Construção do argumento para reflexividade: seja um a\in\mathbb{N} arbitrário. Pela propriedade anterior temos
a = a + 0.
Como 0\in\mathbb{N}, isto mostra que existe k\in\mathbb{N} (escolhendo k=0) tal que a = a + k. Pela definição de \ge (Passo 2), isso implica exatamente que
a \ge a.

Passo 5

Interpretação final e exemplo concreto: a prova é muito curta justamente porque a definição de \ge nos pede um número natural k com a=a+k, e o k=0 funciona sempre graças a a+0=a. Exemplos: 0=0+0 mostra 0\ge0; 3=3+0 mostra 3\ge3. Isso vale para qualquer a\in\mathbb{N}.

Passo 6

Comentário de encorajamento: a reflexividade é a parte mais simples das propriedades de ordem — é normal se sentir inseguro no começo, mas aqui a ideia é só usar a definição e lembrar que somar zero não muda o número. Bons estudos!

Resposta

\forall a\in\mathbb{N},\; a\ge a

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