Questão 1. Sejam A, B e E conjuntos quaisquer. Prove que:
(A \backslash B) \cup(B \backslash A)=(A \cup B) \backslash(A \cap B).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
(A\setminus B)\,\cup\,(B\setminus A) = (A\cup B)\,\setminus\,(A\cap B).
Isso é exatamente a definição de diferença simétrica entre A e B. Vamos mostrar a igualdade por dupla inclusão: primeiro que o lado esquerdo está contido no direito e depois o contrário.

Passo 2

Provar (A\setminus B)\cup(B\setminus A)\subseteq (A\cup B)\setminus(A\cap B).
Seja x\in (A\setminus B)\cup(B\setminus A). Então ou
  1. x\in A\setminus B, isto é, x\in A e x\notin B,
    ou
  2. x\in B\setminus A, isto é, x\in B e x\notin A.
    Em ambos os casos temos x\in A\cup B (pois está em A ou em B). Além disso, em cada caso x\notin A\cap B, pois ou falta pertencer a A ou falta pertencer a B. Logo x\in (A\cup B)\setminus(A\cap B).

Passo 3

Provar (A\cup B)\setminus(A\cap B)\subseteq (A\setminus B)\cup(B\setminus A).
Seja x\in (A\cup B)\setminus(A\cap B). Então
  • x\in A\cup B, ou seja, x\in A ou x\in B,
  • e x\notin A\cap B, ou seja, não ocorre que x\in A e x\in B simultaneamente.
    Se x\in A mas x\notin B, então x\in A\setminus B.
    Se x\in B mas x\notin A, então x\in B\setminus A.
    Em ambos os casos x\in (A\setminus B)\cup(B\setminus A).

Resposta

Como mostramos as duas inclusões, concluímos
(A\setminus B)\cup(B\setminus A) = (A\cup B)\setminus(A\cap B).

Exercícios relacionados