Questão 1. Sejam
e
conjuntos quaisquer. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
Isso é exatamente a definição de diferença simétrica entre
e
. Vamos mostrar a igualdade por dupla inclusão: primeiro que o lado esquerdo está contido no direito e depois o contrário.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então ou
Seja
-
, isto é, e ,
ou -
, isto é, e .
Em ambos os casos temos(pois está em ou em ). Além disso, em cada caso , pois ou falta pertencer a ou falta pertencer a . Logo .
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
Seja
-
, ou seja, ou , - e
, ou seja, não ocorre que e simultaneamente.
Semas , então .
Semas , então .
Em ambos os casos.
Resposta
Como mostramos as duas inclusões, concluímos