Questão 2. Dados X, Y \subset A e f: A \rightarrow B.
a) Mostre que f(X) \backslash f(Y) \subset f(X \backslash Y).
b) Defina função injetora.
c) Mostre que se f é injetora então f(X) \backslash f(Y)=f(X \backslash Y).

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon A\to B e dois subconjuntos X,Y\subset A. Pede em (a) mostrar que
f(X)\backslash f(Y)\;\subset\;f(X\backslash Y),
em (b) definir o que é função injetora, e em (c) provar que, se f é injetora, então há igualdade
f(X)\backslash f(Y)=f(X\backslash Y).
O conteúdo aqui é imagem de conjuntos por uma função e uso da propriedade de injetividade.

Passo 2

Prova de (a). Seja
b\in f(X)\backslash f(Y).
Então b\in f(X) e b\notin f(Y). Como b\in f(X), existe x\in X tal que f(x)=b. E b\notin f(Y) impede que qualquer y\in Y satisfaça f(y)=b. Em particular, esse x não pode estar em Y, logo x\in X\backslash Y. Daí b=f(x)\in f(X\backslash Y). Concluímos
f(X)\backslash f(Y)\subset f(X\backslash Y).

Passo 3

Definição de função injetora. Dizemos que f\colon A\to B é injetora se, sempre que f(a_{1})=f(a_{2}), então obrigatoriamente a_{1}=a_{2}. Em outras palavras, não há dois elementos distintos do domínio que tenham a mesma imagem.

Passo 4

Prova de (c). Suponha agora que f seja injetora. Já temos de (a)
f(X)\backslash f(Y)\subset f(X\backslash Y).
Falta mostrar a inclusão inversa
f(X\backslash Y)\subset f(X)\backslash f(Y).
Seja
b\in f(X\backslash Y).
Então existe x\in X\backslash Y tal que f(x)=b. Logo b\in f(X). Se por absurdo tivéssemos b\in f(Y), existiria y\in Y com f(y)=b=f(x), e pela injetividade y=x, contradizendo x\notin Y. Portanto b\notin f(Y) e assim
b\in f(X)\backslash f(Y).
Isso prova
f(X\backslash Y)\subset f(X)\backslash f(Y),
e, junto com (a), obtemos a igualdade desejada.

Resposta

(a) \,f(X)\backslash f(Y)\subset f(X\backslash Y).
(b) f\colon A\to B é injetora se, sempre que f(a_{1})=f(a_{2}), então a_{1}=a_{2}.
(c) Se f é injetora, então
f(X)\backslash f(Y)=f(X\backslash Y).

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