Questão 2. Dados
e
.
a) Mostre que
.
b) Defina função injetora.
c) Mostre que se
é injetora então
.
a) Mostre que
b) Defina função injetora.
c) Mostre que se
Passo 1
O enunciado dá uma função
e dois subconjuntos
. Pede em (a) mostrar que
em (b) definir o que é função injetora, e em (c) provar que, se
é injetora, então há igualdade
O conteúdo aqui é imagem de conjuntos por uma função e uso da propriedade de injetividade.
Passo 2
Prova de (a). Seja
Então
e
. Como
, existe
tal que
. E
impede que qualquer
satisfaça
. Em particular, esse
não pode estar em
, logo
. Daí
. Concluímos
Passo 3
Definição de função injetora. Dizemos que
é injetora se, sempre que
, então obrigatoriamente
. Em outras palavras, não há dois elementos distintos do domínio que tenham a mesma imagem.
Passo 4
Prova de (c). Suponha agora que
seja injetora. Já temos de (a)
Falta mostrar a inclusão inversa
Seja
Então existe
tal que
. Logo
. Se por absurdo tivéssemos
, existiria
com
, e pela injetividade
, contradizendo
. Portanto
e assim
Isso prova
e, junto com (a), obtemos a igualdade desejada.
Resposta
(a)
(b) é injetora se, sempre que
, então
.
(c) Se é injetora, então
(b)
(c) Se