Questão 0.8. Sejam B=(1,2),(-1,0) e B^prime=(-1,1),(0,3) bases de R^2. Calcule a matriz de mudança de base de B^prime para B e determine a sua inversa.

Bom trabalho!

Passo 1

O enunciado dá as bases
B=(1,2),,(-1,0), B'=(-1,1),,(0,3)
em R^2 e pede a matriz de mudança de base de B' para B e sua inversa. Vamos usar que, para um vetor v,
[v]B = M,[v]B',
com
M = PB^-1,PB',
onde PB é a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica e PB' é a matriz cujas colunas são os vetores de B' na canônica.

Passo 2

Escrevemos as matrizes PB e PB' cujas colunas são os vetores das bases B e B' em coordenadas canônicas:
PB = 1 & -1 2 & 0
PB' = -1 & 0 1 & 3

Passo 3

Calculamos o determinante de PB e seu inverso:
det(PB) = 1cdot0 - (-1)cdot2 = 2
PB^-1 = 120 & 1 -2 & 1

Passo 4

Multiplicamos PB^-1 por PB' para obter M:
PB^-1PB' = 120 & 1 -2 & 1 -1 & 0 1 & 3 = 121 & 3 3 & 3
Logo,
M = 121 & 3 3 & 3

Passo 5

Para achar M^-1, primeiro calculamos o inverso de PB'. Temos
det(PB') = (-1)cdot3 - 0cdot1 = -3
PB'^-1 = -133 & 0 -1 & -1 = -1 & 0 tfrac13 & tfrac13

Passo 6

Finalmente, obtemos
M^-1 = PB'^-1,PB = -1 & 0 tfrac13 & tfrac13 1 & -1 2 & 0 = -1 & 1 1 & -tfrac13

Resposta

Matriz de mudança de base: M = 121 & 3 3 & 3 ç
Inversa: M^-1 = -1 & 1 1 & -tfrac13

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