Considere o triângulo cujos vértices são os pontos e . Determine:
(a) os ângulos do triângulo ;
(b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) a altura do triângulo relativa ao maior lado;
(d) o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores e A B times A C.
Passo 1
O enunciado dá o triângulo com vértices A(3,2,1), B(3,2,2), C(3,3,2)
e pede:
(a) os ângulos do triângulo ABC;
(b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior;
(c) a altura relativa ao maior lado;
(d) o volume do paralelogramo gerado por AB,AC e ABtimesAC.
Para resolver, vamos usar conceitos de vetor (diferença de pontos), norma, produto escalar, produto vetorial, lei dos cossenos e triplo escalar.
Passo 2
Calculamos os vetores dos lados e suas normas:
AB=B-A=(0,0,1), AC=C-A=(0,1,1), BC=C-B=(0,1,0)
Suas normas são
|AB|=1, |BC|=1, |AC|=raiz2
Logo o maior lado é AC e os menores são AB e BC (ambos de comprimento 1).
Passo 3
Para os ângulos usemos a lei dos cossenos. Denotando a=|BC|=1 (oposto a A), b=|AC|=raiz2 (oposto a B), c=|AB|=1 (oposto a C), temos
cos A=b^2+c^2-a^22,b,c =2+1-12raiz2cdot1=1raiz2,
cos B=a^2+c^2-b^22,a,c =1+1-22cdot1cdot1=0,
cos C=a^2+b^2-c^22,a,b =1+2-12cdot1cdotraiz2=1raiz2
Portanto
A=45^circ, B=90^circ, C=45^circ
Passo 4
Tomando AB como um dos menores, projetamos sobre o maior AC. A projeção é