1. Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). Determine:
    (a) os ângulos do triângulo A B C;
    (b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
    (c) a altura do triângulo relativa ao maior lado;
    (d) o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores A B, A C e A B times A C.

Passo 1

O enunciado dá o triângulo com vértices
A(3,2,1), B(3,2,2), C(3,3,2)
e pede:
(a) os ângulos do triângulo ABC;
(b) o vetor projeção do menor lado sobre o maior;
(c) a altura relativa ao maior lado;
(d) o volume do paralelogramo gerado por AB,AC e ABtimesAC.
Para resolver, vamos usar conceitos de vetor (diferença de pontos), norma, produto escalar, produto vetorial, lei dos cossenos e triplo escalar.

Passo 2

Calculamos os vetores dos lados e suas normas:
AB=B-A=(0,0,1), AC=C-A=(0,1,1), BC=C-B=(0,1,0)
Suas normas são
|AB|=1, |BC|=1, |AC|=raiz2
Logo o maior lado é AC e os menores são AB e BC (ambos de comprimento 1).

Passo 3

Para os ângulos usemos a lei dos cossenos. Denotando
a=|BC|=1 (oposto a A),
b=|AC|=raiz2 (oposto a B),
c=|AB|=1 (oposto a C), temos
cos A=b^2+c^2-a^22,b,c =2+1-12raiz2cdot1=1raiz2,
cos B=a^2+c^2-b^22,a,c =1+1-22cdot1cdot1=0,
cos C=a^2+b^2-c^22,a,b =1+2-12cdot1cdotraiz2=1raiz2
Portanto
A=45^circ, B=90^circ, C=45^circ

Passo 4

Tomando AB como um dos menores, projetamos sobre o maior AC. A projeção é
projAC,AB =ABcdotAC|AC|^2,AC =12,(0,1,1) =(0,tfrac12,tfrac12)

Passo 5

A altura relativa ao maior lado AC vale
h=2,área do triângulo|AC| áâ
Como a área é tfrac12|ABtimesAC| e
ABtimesAC=(-1,0,0) tem norma 1, temos área =tfrac12.
Logo
h=2cdot12raiz2=1raiz2

Passo 6

O volume do paralelepípedo gerado por AB,AC,ABtimesAC é o valor absoluto do triplo escalar
l[AB,AC,ABtimesACr] =(ABtimesAC)cdot(ABtimesAC) =|ABtimesAC|^2=1

Resposta

(a) A=45^circ,;B=90^circ,;C=45^circ
(b) projAC(AB)=(0,tfrac12,tfrac12)
(c) h=tfrac1raiz2
(d) Volume =1

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