Questão 3 Sejam B1=(0,1),(1,0) e B2=(raiz11,-1),(raiz11, 1) duas bases de R^2.
(a) (1,5) Ache a matriz mudança de base [I]B2^B1 (Matriz de mudança de base, da base B1 para a base B2 )
(b) (1,0) Quais são as coordenadas do vetor v=(-3,2) em relação à base B2.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^2:
B1=b1=(0,1),,b2=(1,0) e
B2=c1=(raiz11,-1),,c2=(raiz11,1).
Queremos (a) a matriz de mudança de base
[I]B2^B1 que leva coordenadas em B1 em coordenadas em B2, e (b) as coordenadas de v=(-3,2) em B2.
Para isso vamos expressar vetores de B1 (e depois v) como combinação linear de c1 e c2 resolvendo sistemas lineares.

Passo 2

Matriz de mudança de base: as colunas de [I]B2^B1 são as coordenadas de b1 e b2 (da base B1) na base B2.
Isto é, para cada bi resolvemos
bi = alpha,c1 + beta,c2
e colocamos alphabeta como coluna i.

Passo 3

Expressão de
Isto gera o sistema
Da primeira equação . Substituindo na segunda:

Passo 4

Expressão de
gera
Da segunda equação (\beta=\alpha]. Substituindo na primeira:

Passo 5

Assim a matriz de mudança de base é
[I]B2^B1 = -,tfrac12 & tfrac12raiz11[6pt] ;tfrac12 & tfrac12raiz11 ]

Passo 6

Para achar as coordenadas de v=(-3,2) em B2, resolvemos
(-3,2)=alpha,( raiz11,-1 )+beta,( raiz11,1 ),
isto é
raiz11(alpha+beta)=-3, -,alpha+beta=2

Passo 7

Da primeira equação alpha+beta=-tfrac3raiz11. Somando com a segunda:
(alpha+beta)+(-alpha+beta)=2beta =-tfrac3raiz11+2 ;Longrightarrow; beta=1-tfrac32raiz11
Então
alpha = -tfrac3raiz11-beta =-tfrac3raiz11-l(1-tfrac32raiz11r) =-1-tfrac32raiz11

Resposta

(a) [I]B2^B1 = -,tfrac12 & tfrac12raiz11[6pt] ;tfrac12 & tfrac12raiz11
(b) As coordenadas de v=(-3,2) em B2 são
alphabeta = -,1-tfrac32raiz11[4pt] 1-tfrac32raiz11 ]

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