Provar que os vetores
e
são linearmente independientes. Escrever as coordenadas do vetor
como combinação linear dos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
em
. Precisamos (i) mostrar que
e
são linearmente independentes e (ii) expressar
como combinação linear de
e
.
Passo 2
Para provar independência linear, usamos a definição: vetores são independentes se a única solução de
é
. Escrevendo coordenadas, isso dá o sistema
Passo 3
Resolvendo
da primeira equaçãoa=-b . Substituindo na segunda:
da primeira equação
Como só há a solução trivial,
vec u e
vec v são linearmente independentes.
Passo 4
Para escrever
vec w como combinação linear, buscamos
x,y tais que
isto é,
Isso gera o sistema em
x,y :
Passo 5
Da primeira equação
x=6-y . Substituindo na segunda:
Resposta
Os vetores
vec u e
vec v são linearmente independentes.
A combinação linear que geravec w é
A combinação linear que gera