Provar que os vetores u=(1,-2) e v=(1,-3) são linearmente independientes. Escrever as coordenadas do vetor w=(6,-15) como combinação linear dos vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
vec u=(1,-2), vec v=(1,-3) e vec w=(6,-15) em R^2. Precisamos (i) mostrar que vec u e vec v são linearmente independentes e (ii) expressar vec w como combinação linear de vec u e vec v.

Passo 2

Para provar independência linear, usamos a definição: vetores são independentes se a única solução de
a,vec u + b,vec v = vec 0
é a=b=0. Escrevendo coordenadas, isso dá o sistema
a + b = 0, -2a -3b = 0

Passo 3

Resolvendo
da primeira equação a=-b. Substituindo na segunda:
-2(-b)-3b = 0 ;Longrightarrow;2b-3b=0 ;Longrightarrow;-b=0 ;Longrightarrow;b=0 ;Longrightarrow;a=0
Como só há a solução trivial, vec u e vec v são linearmente independentes.

Passo 4

Para escrever vec w como combinação linear, buscamos x,y tais que
x,vec u + y,vec v = vec w,
isto é,
x(1,-2)+y(1,-3)=(6,-15)
Isso gera o sistema em x,y:
x + y = 6, -2x -3y = -15

Passo 5

Da primeira equação x=6-y. Substituindo na segunda:
-2(6-y)-3y=-15 ;Longrightarrow;-12+2y-3y=-15 ;Longrightarrow;-12-y=-15 ;Longrightarrow;y=3 ;Longrightarrow;x=6-3=3

Resposta

Os vetores vec u e vec v são linearmente independentes.
A combinação linear que gera vec w é
vec w = 3,vec u + 3,vec v

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