Sejam S1=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3 in P3(R) mid a1+a2+a3=0 e S2=[-2 x^3+5 x^2+5 x+5, x^2+x+1, x^3] dois subespaços de P3(R).
(1,0) Determine uma base para S2.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
S2=l[;p1,,p2,,p3r] subset P3(R),
onde
p1(x)=-2x^3+5x^2+5x+5, p2(x)=x^2+x+1, p3(x)=x^3
O conteúdo principal é verificar dependência linear entre esses vetores (polinômios) e extrair uma base.

Passo 2

Suponha que exista relação
alpha,p1(x)+beta,p2(x)+gamma,p3(x)equiv 0
Escrevendo coeficiente a coeficiente em x^3,x^2,x,1, obtemos o sistema
x^3:;-2alpha + gamma = 0, x^2:;5alpha + beta = 0, x^1:;5alpha + beta = 0, x^0:;5alpha + beta = 0

Passo 3

Das últimas três equações vem
beta = -5alpha,
e da primeira
gamma = 2alpha
Logo a única dependência não-trivial é
alphal(p1-5,p2+2,p3r)=0,
ou seja
p1=5,p2-2,p3
Isso mostra que p1,p2,p3 gera um espaço de dimensão 2.

Passo 4

Como p1 é combinação de p2 e p3, basta escolher
p2,p3 como base, desde que sejam independentes. Claramente
p2(x)=x^2+x+1, p3(x)=x^3
são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para S2 é
,x^2+x+1,;x^3

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