Questão 2:
Sejam dados os pontos A=(1,2,1), B=(2,1,0) e C=(0,0,1).
  1. Determine a equação do plano alpha que contém A, B e C.
  2. Determine a equação do plano beta, perpendicular a alpha, e que passa por A e por B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,2,1), B=(2,1,0) e C=(0,0,1).
Parte 1 pede a equação do plano alpha que passa por esses três pontos; para isso vamos usar o produto vetorial para achar um vetor normal a alpha e depois impor que esse normal seja perpendicular a qualquer vetor que ligue dois pontos do plano.
Parte 2 pede a equação do plano beta que contém A e B e é perpendicular a alpha; como planos são perpendiculares quando seus vetores normais são ortogonais, basta escolher o normal de beta ortogonal a nalpha e também ortogonal à direção AB.

Passo 2

Para alpha, primeiro calculamos
AB=B-A=(2-1,;1-2,;0-1)=(1,-1,-1),
AC=C-A=(0-1,;0-2,;1-1)=(-1,-2,0)
O vetor normal nalpha vale o produto vetorial
nalpha =ABtimesAC = i&j&k 1&-1&-1 -1&-2&0 =(-2,,1,,-3)

Passo 3

Usamos nalphacdot (x,y,z - A)=0, ou seja
(-2,1,-3)cdotl(x-1,;y-2,;z-1r)=0
Expandindo:
-2(x-1)+1(y-2)-3(z-1)=0 ;Longrightarrow; -2x+y-3z+3=0 ;Longrightarrow; 2x - y + 3z - 3 = 0

Passo 4

Para beta, ela contém a reta AB (direção AB=(1,-1,-1)) e é perpendicular a alpha. Então seu vetor normal nbeta deve ser ortogonal a AB e a nalpha. Podemos tomar
nbeta =ABtimesnalpha =(1,-1,-1)times(2,-1,3) =(4,,5,,-1),
onde fizemos a troca de sinal de (-4,-5,1) para ficar mais simples.

Passo 5

Impondo nbetacdot (x,y,z - A)=0 com A=(1,2,1):
(4,5,-1)cdotl(x-1,;y-2,;z-1r)=0 ;Longrightarrow; 4(x-1)+5(y-2)-1(z-1)=0 ;Longrightarrow; 4x+5y - z -13 = 0

Resposta

  1. alpha: 2x - y + 3z - 3 = 0
  2. beta: 4x + 5y - z - 13 = 0

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