Questão 1:
Sejam dados o plano pi e a reta r de respectivas equações:
l pi: 2 x-y+z=3 r:l x=z y=-x+1
  1. Determine o ponto P da interseção pi cap r.
  2. Determine a equação paramétrica da reta contida em pi e que seja perpendicular à reta r no ponto P.

Passo 1

O enunciado dá o plano
pi:;2x - y + z = 3
e a reta
r: x = z, y = -x + 1
Queremos (1) o ponto P=picap r e (2) a reta que passa por P, está contida em pi e é perpendicular a r em P. Para isso usaremos representação paramétrica de r, interseção com o plano e condições de ortogonalidade de vetores em R^3.

Passo 2

Escrevemos r em forma paramétrica. Seja t o parâmetro, então
x = t, z = t, y = -t + 1
Para achar P substituímos esses valores em pi:
2t - l(-t + 1r) + t = 3 Longrightarrow 2t + t -1 + t = 3 Longrightarrow 4t - 1 = 3 Longrightarrow t = 1
Logo
P = l(x,y,zr)l|t=1 = (1,,0,,1)

Passo 3

Seja npi=(2,-1,1) o vetor normal a pi e vr=(1,-1,1) o vetor direção de r. Uma reta em pi tem vetor direção v=(a,b,c) satisfazendo
npicdot v = 2a - b + c = 0 (estar em (pi)),
e para ser perpendicular a r também deve valer
vrcdot v = a - b + c = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira vem a=0, e daí a - b + c=0 c=b. Podemos escolher b=1, c=1, logo
v = (0,1,1)

Passo 4

A reta procurada passa por
onde (s\in\mathbb{R}].

Resposta

O ponto de interseção é
P=(1,0,1)
A reta em pi perpendicular a r em P tem equação paramétrica
x = 1, y = s, z = 1 + s

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