Questão 1:
Sejam dados o plano e a reta de respectivas equações:
Determine o ponto da interseção .
Determine a equação paramétrica da reta contida em e que seja perpendicular à reta no ponto .
Passo 1
O enunciado dá o plano
e a reta
Queremos (1) o ponto e (2) a reta que passa por , está contida em e é perpendicular a em . Para isso usaremos representação paramétrica de , interseção com o plano e condições de ortogonalidade de vetores em .
Passo 2
Escrevemos em forma paramétrica. Seja o parâmetro, então
Para achar substituímos esses valores em :
Logo
Passo 3
Seja npi=(2,-1,1) o vetor normal a pi e vr=(1,-1,1) o vetor direção de r. Uma reta em pi tem vetor direção v=(a,b,c) satisfazendo
npicdot v = 2a - b + c = 0 (estar em (pi)),
e para ser perpendicular a r também deve valer
vrcdot v = a - b + c = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira vem a=0, e daí a - b + c=0 dá c=b. Podemos escolher b=1, c=1, logo
v = (0,1,1)
Passo 4
A reta procurada passa por
onde (s\in\mathbb{R}].
Resposta
O ponto de interseção é
P=(1,0,1)
A reta em pi perpendicular a r em P tem equação paramétrica