O quociente f/g tende a 1 quando (x,y)\to(x_0,y_0).
A função g é limitada por algum M>0.
Preciso encontrar o limite da diferença f-g.
Passo 2
Observação técnica sobre a existência do quociente perto do ponto:
Para fazermos manipulações com \frac{f}{g} perto de (x_0,y_0) precisamos que o quociente esteja definido em um pequeno entorno pontuado de (x_0,y_0). A existência do limite \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} implica que existe uma vizinhança puncturada de (x_0,y_0) onde g(x,y)\neq 0 (caso contrário o quociente não estaria definido e não faria sentido falar em limite). Logo, podemos usar \frac{f}{g} e fazer manipulações algébricas nessa vizinhança.
Expliquei: fatoramos g porque isso transforma a diferença numa produto de algo que tende a 0 (já que \frac{f}{g}\to1) por uma função g que sabemos ser limitada.
Passo 4
O que significa " g é limitada" e como usar:
Ser limitada significa que existe M>0 tal que, para todos (x,y) (ou pelo menos para todos (x,y) na vizinhança relevante),
|g(x,y)| \le M.
Esse M é uma constante que não depende de (x,y). Esse é o dado que vai permitir controlar o produto visto no passo anterior.
Isso quer dizer que o fator \frac{f}{g}-1 tende a zero quando nos aproximamos de (x_0,y_0).
Passo 6
Aplicando desigualdade e o Teorema do Sanduíche (Squeeze):
Para (x,y) próximos de (x_0,y_0) (onde o quociente está definido) temos, usando o passo 3 e o passo 4,
\bigl|f(x,y)-g(x,y)\bigr| = \bigl|g(x,y)\bigr|\left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right| \le M \left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right|.
Como \left|\frac{f}{g}-1\right|\to 0 e M é constante, o produto M\left|\frac{f}{g}-1\right|\to 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou pelo fato de que uma função limitada vezes uma que tende a zero tende a zero), segue que \bigl|f(x,y)-g(x,y)\bigr|\to 0. A partir disso concluímos que f(x,y)-g(x,y) tende a 0 quando (x,y)\to(x_0,y_0).