Questão 4: Sejam f, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} funções tais que:
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)}=1 \text { e } g \text { é limitada. }é
Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)}(f(x, y)-g(x, y)).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dá-se que existem funções f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.
  • Dá-se que
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = 1.
  • Dá-se que g é limitada (isto é, existe um número real que limita o valor absoluto de g em todo o domínio / em um vizinhança).
  • Pergunta-se calcular
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr).
Lista de informações relevantes (resumindo):
  • O quociente f/g tende a 1 quando (x,y)\to(x_0,y_0).
  • A função g é limitada por algum M>0.
  • Preciso encontrar o limite da diferença f-g.

Passo 2

Observação técnica sobre a existência do quociente perto do ponto:
Para fazermos manipulações com \frac{f}{g} perto de (x_0,y_0) precisamos que o quociente esteja definido em um pequeno entorno pontuado de (x_0,y_0). A existência do limite \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} implica que existe uma vizinhança puncturada de (x_0,y_0) onde g(x,y)\neq 0 (caso contrário o quociente não estaria definido e não faria sentido falar em limite). Logo, podemos usar \frac{f}{g} e fazer manipulações algébricas nessa vizinhança.

Passo 3

Escrevendo a diferença de forma conveniente:
A identidade algébrica útil é
f(x,y)-g(x,y)=g(x,y)\left(\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right).
Expliquei: fatoramos g porque isso transforma a diferença numa produto de algo que tende a 0 (já que \frac{f}{g}\to1) por uma função g que sabemos ser limitada.

Passo 4

O que significa " g é limitada" e como usar:
Ser limitada significa que existe M>0 tal que, para todos (x,y) (ou pelo menos para todos (x,y) na vizinhança relevante),
|g(x,y)| \le M.
Esse M é uma constante que não depende de (x,y). Esse é o dado que vai permitir controlar o produto visto no passo anterior.

Passo 5

Comportamento do fator que tende a zero:
Pelo dado do enunciado,
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = 1,
portanto, subtraindo 1,
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\left(\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right)=0.
Isso quer dizer que o fator \frac{f}{g}-1 tende a zero quando nos aproximamos de (x_0,y_0).

Passo 6

Aplicando desigualdade e o Teorema do Sanduíche (Squeeze):
Para (x,y) próximos de (x_0,y_0) (onde o quociente está definido) temos, usando o passo 3 e o passo 4,
\bigl|f(x,y)-g(x,y)\bigr| = \bigl|g(x,y)\bigr|\left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right| \le M \left|\frac{f(x,y)}{g(x,y)}-1\right|.
Como \left|\frac{f}{g}-1\right|\to 0 e M é constante, o produto M\left|\frac{f}{g}-1\right|\to 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou pelo fato de que uma função limitada vezes uma que tende a zero tende a zero), segue que \bigl|f(x,y)-g(x,y)\bigr|\to 0. A partir disso concluímos que f(x,y)-g(x,y) tende a 0 quando (x,y)\to(x_0,y_0).

Passo 7

Dica rápida para a prova (resumindo o método):
  • Fatorar: escrever f-g=g\bigl(\tfrac{f}{g}-1\bigr).
  • Usar que \tfrac{f}{g}-1\to 0.
  • Usar que g é limitada por M para obter |f-g|\le M\cdot\bigl|\tfrac{f}{g}-1\bigr|.
  • Concluir pelo limite do lado direito que a diferença vai para 0.

Resposta

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