Questāo 5: Determine os valores de k para que a função abaixo seja continua:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{4 \operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2 x y-4} ; \text { se }(x, y) \neq(2,0) \\\ k^{2}-4 k+4 ; \text { se }(x, y)=(2,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{4\operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2xy-4}, &\text{se }(x,y)\neq(2,0),\\[6pt] \displaystyle k^{2}-4k+4, &\text{se }(x,y)=(2,0). \end{cases}
A pergunta é: determinar os valores de k para que f seja contínua (em todo o domínio implicado, o ponto crítico é (2,0)).
Informações relevantes dadas:
\text{expressão fora de }(2,0):\quad \frac{4\operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2xy-4},ã
\text{valor em }(2,0):\quad k^{2}-4k+4.]

Passo 2

Lembrete-do-que-importa (definição usada): para f ser contínua em (2,0) precisamos que
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{4\operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2xy-4}
exista e seja igual a
k^{2}-4k+4.
Portanto vamos calcular esse limite e depois igualar ao valor dado em (2,0).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão algébrica no denominador. Observe que
x^{2}+y^{2}-2xy-4=(x-y)^{2}-4.
Esta diferença de quadrados pode ser fatorada; escrevemos em forma fatorada:
(x-y)^{2}-4=(x-y-2)(x-y+2).

Passo 4

Faça a substituição auxiliar
u:=x-y-2.
Nota: quando (x,y)\to(2,0) temos x-y-2\to 0, ou seja u\to 0. Reescrevendo numerador e denominador em u:
\operatorname{tg}(x-y-2)=\operatorname{tg}(u)
e, usando x-y=u+2,
(x-y)^{2}-4=(u+2)^{2}-4=u^{2}+4u=u(u+4).
Logo a função fora do ponto fica, em termos de u,
\frac{4\operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2xy-4} =\frac{4\operatorname{tg}(u)}{u(u+4)}.

Passo 5

Agora calculamos o limite equivalente (já que (x,y)\to(2,0) é equivalente a u\to 0):
\lim_{(x,y)\to(2,0)} \frac{4\operatorname{tg}(x-y-2)}{x^{2}+y^{2}-2xy-4} =\lim_{u\to 0}\frac{4\operatorname{tg}(u)}{u(u+4)}.
Reescrevemos o integrando para usar um limite padrão:
\frac{4\operatorname{tg}(u)}{u(u+4)}=4\cdot\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}\cdot\frac{1}{u+4}.

Passo 6

Usamos o limite conhecido para a função trigonométrica: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 e \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Assim
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{tg}(u)}{u} =\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}=1\cdot 1=1,
porque \lim_{u\to 0}\cos u=1. Além disso \lim_{u\to 0}\dfrac{1}{u+4}=\dfrac{1}{4}. Portanto
\lim_{u\to 0}4\cdot\frac{\operatorname{tg}(u)}{u}\cdot\frac{1}{u+4}=4\cdot 1\cdot\frac{1}{4}=1.
Concluímos que o limite existe e vale 1.

Passo 7

Para continuidade em (2,0) precisamos que o valor da função no ponto seja igual ao limite, isto é
k^{2}-4k+4=1.
Resolvemos essa equação. Subtraindo 1 de ambos os lados:
k^{2}-4k+3=0.
Fatorando:
(k-1)(k-3)=0,
portanto as soluções são
k=1 \quad\text{ou}\quad k=3.
(Alternativamente, observe que k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}, então (k-2)^{2}=1\Rightarrow k-2=\pm 1\Rightarrow k=1,3.)

Passo 8

Verificação rápida: para k=1 ou k=3 temos k^{2}-4k+4=1, que é exatamente o limite calculado, logo f fica contínua em (2,0) para esses valores de k.

Resposta

k=1
k=3

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