Utilizando a transformada Laplace resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} \ddot{x}+4 x=e^{t} \sin t \\ x(0)=\dot{x}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \ddot x + 4x = e^t\sin t,\\\ x(0)=0,\quad \dot x(0)=0 \end{cases}
usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é aplicar L\{\cdot\} à equação diferencial, resolver para X(s)=L\{x(t)\} e inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos L\{\cdot\} em cada termo. Como x(0)=\dot x(0)=0,
L\{\ddot x\}(s)=s^2 X(s), \qquad L\{4x\}(s)=4X(s),
e do lado direito usamos o deslocamento:
L\{e^t\sin t\}(s)=\frac{1}{(s-1)^2+1}.
Logo a equação em s fica
s^2X(s)+4X(s) =\frac{1}{(s-1)^2+1} \quad\Longrightarrow\quad X(s)\bigl(s^2+4\bigr) =\frac{1}{(s-1)^2+1},
ou seja
X(s) =\frac{1}{(s^2+4)\bigl((s-1)^2+1\bigr)}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{(s^2+4)\,(s^2-2s+2)} =\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{Cs+D}{s^2-2s+2}.
Igualando numeradores obtemos o sistema
\begin{cases} A+C=0,\\\\ -2A+B+D=0,\\\\ 2A-2B+4C=0,\\\\ 2B+4D=1, \end{cases}
cuja solução é
A=\tfrac1{10},\quad B=-\tfrac1{10},\quad C=-\tfrac1{10},\quad D=\tfrac3{10}.
Assim
X(s) =\frac{\tfrac1{10}s-\tfrac1{10}}{s^2+4} +\frac{-\tfrac1{10}s+\tfrac3{10}}{(s-1)^2+1}.

Passo 4

Invertemos termo a termo:
  1. Para \dfrac{\tfrac1{10}s-\tfrac1{10}}{s^2+4}:
\frac1{10}\,\frac{s}{s^2+4} \longrightarrow \frac1{10}\cos(2t), \qquad -\frac1{10}\,\frac{1}{s^2+4} \longrightarrow -\frac1{10}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t) =-\frac1{20}\sin(2t).
  1. Para \dfrac{-\tfrac1{10}s+\tfrac3{10}}{(s-1)^2+1} escrevemos
-\tfrac1{10}s+\tfrac3{10} =-\tfrac1{10}(s-1)+\tfrac2{10},
então
-\tfrac1{10}\frac{s-1}{(s-1)^2+1} \longrightarrow -\tfrac1{10}e^t\cos t, \qquad \tfrac{2}{10}\frac{1}{(s-1)^2+1} \longrightarrow \tfrac{1}{5}e^t\sin t.
Somando tudo, obtemos
x(t) =\frac1{10}\cos(2t)-\frac1{20}\sin(2t) -\frac1{10}e^t\cos t +\frac1{5}e^t\sin t.

Resposta

\boxed{ x(t) =\frac1{10}\cos(2t)-\frac1{20}\sin(2t) -\frac1{10}e^t\cos t +\frac1{5}e^t\sin t. }

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