Questão 2.

Sejam F(x, y, z)=2 x i+j+4 y k e G(x, y, z)=x i+y j-z k. Encontre nabla cdot(F times G).

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar nablacdot(FtimesG), onde F(x,y,z)=2xi+j+4yk e G(x,y,z)=xi+yj-zk. Isso envolve produto vetorial e divergência de campo vetorial, então a gente vai precisar lembrar como calcular o produto vetorial usando determinante e como calcular divergência somando derivadas parciais.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial FtimesG, usamos o determinante:

Passo 3

FtimesG = i & j & k 2x & 1 & 4y x & y & -z
Fazendo a expansão a gente obtém:
FtimesG = (-z - 4y^2),i + (2xz + 4xy),j + (2xy - x),k

Passo 4

A divergência de um campo H=(Hx,Hy,Hz) é definida como nablacdotH=partial Hxpartial x+partial Hypartial y+partial Hzpartial z. Aplicando em FtimesG a gente faz:
nablacdot(FtimesG) = partialpartial x(-z - 4y^2)+partialpartial y(2xz + 4xy)+partialpartial z(2xy - x)
Calculando cada derivada parcial:
partial/partial x(-z - 4y^2)=0
partial/partial y(2xz + 4xy)=4x
partial/partial z(2xy - x)=0
Somando dá 4x.

Resposta

4x

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