a) Determine L_{1} \cap L_{2}. Isto é, determine onde as retas L_{1} e L_{2} se interceptam.
b) O ângulo entre duas retas é definido como sendo o ângulo entre os seus vetores diretores. Determine o ângulo entre L_{1} e L_{2}.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas de duas retas L_{1} e L_{2} em \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
Determinar L_{1}\cap L_{2}, isto é, o(s) ponto(s) em que as retas se interceptam.
Determinar o ângulo entre L_{1} e L_{2}, usando que o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\text{Para }L_{1}:\quad \begin{aligned} x &= t\\\ y &= t+1\\\ z &= 1 \end{aligned} \qquad\text{(parâmetro }t\text{)}
\text{Para }L_{2}:\quad \begin{aligned} x &= 1-s\\\ y &= s\\\ z &= 1 \end{aligned} \qquad\text{(parâmetro }s\text{)}
Passo 2
Escrevendo cada reta na forma “ponto + parâmetro × vetor diretor” fica mais fácil identificar pontos e diretores.
Para L_{1}: quando t=0 obtemos o ponto (0,1,1). As componentes dependentes de t são (t,\,t,\,0), então o vetor diretor é
Explicação rápida (didática): o vetor diretor é formado pelas taxas de variação de x,y,z em função do parâmetro. Por exemplo, em L_1 tanto x quanto y aumentam com passo 1 quando t aumenta em 1, e z não muda, daí (1,1,0).]
Passo 3
Para achar a interseção precisamos encontrar t\) e \(s\) tais que as coordenadas coincidam. Igualando as coordenadas:
\[\begin{cases} t = 1 - s\\[6pt] t+1 = s\\[6pt] 1 = 1 \end{cases}
A terceira equação é sempre verdadeira (ambas têm (z=1]), então resolvemos as duas primeiras.
Da segunda equação temos
s = t+1.
Substituindo na primeira:
t = 1 - (t+1) = 1 - t - 1 = -t.
Logo
2t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=0.
Então
s = t+1 = 1.
Com t=0 (ou s=1) obtemos o ponto de interseção. Substituindo em L_{1}:
(x,y,z) = (t,\,t+1,\,1) = (0,\,1,\,1).
Verificação em L_{2} com s=1:
(x,y,z) = (1-s,\,s,\,1) = (0,\,1,\,1).
Portanto as duas retas se interceptam exatamente no ponto (0,1,1). Assim
L_{1}\cap L_{2}=\{(0,1,1)\}.]
Passo 4
Agora o ângulo entre as retas: como dado, é o ângulo entre os vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
Fórmula (explicação didática): o produto interno (dot product) de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Ele se relaciona com o ângulo \theta entre eles por
Interpretação: o produto interno nulo mostra que os vetores diretores são ortogonais, logo as retas se cruzam formando um ângulo reto. Observação geométrica rápida: ambas as retas estão contidas no plano z=1, cruzam-se em (0,1,1) e são perpendiculares nesse plano.