Questão 4

Sejam L_{1} e L_{2} retas em \mathbb{R}^{3}, cujas equações paramétricas são (note que t e s, abaixo, são parâmetros),
\begin{aligned} & x=t \\\ & y=t+1 \\\ & z=1 \end{aligned}
e
\begin{aligned} & x=1-s \\\ & y=s \\\ & z=1 \end{aligned}
a) Determine L_{1} \cap L_{2}. Isto é, determine onde as retas L_{1} e L_{2} se interceptam.
b) O ângulo entre duas retas é definido como sendo o ângulo entre os seus vetores diretores. Determine o ângulo entre L_{1} e L_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas de duas retas L_{1} e L_{2} em \mathbb{R}^{3} e pede duas coisas:
  1. Determinar L_{1}\cap L_{2}, isto é, o(s) ponto(s) em que as retas se interceptam.
  2. Determinar o ângulo entre L_{1} e L_{2}, usando que o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
\text{Para }L_{1}:\quad \begin{aligned} x &= t\\\ y &= t+1\\\ z &= 1 \end{aligned} \qquad\text{(parâmetro }t\text{)}â
\text{Para }L_{2}:\quad \begin{aligned} x &= 1-s\\\ y &= s\\\ z &= 1 \end{aligned} \qquad\text{(parâmetro }s\text{)}â

Passo 2

Escrevendo cada reta na forma “ponto + parâmetro × vetor diretor” fica mais fácil identificar pontos e diretores.
Para L_{1}: quando t=0 obtemos o ponto (0,1,1). As componentes dependentes de t são (t,\,t,\,0), então o vetor diretor é
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo podemos escrever
L_{1}:\quad \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para L_{2}: quando s=0 obtemos o ponto (1,0,1). As componentes dependentes de s são (-s,\,s,\,0), então o vetor diretor é
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo
L_{2}:\quad \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Explicação rápida (didática): o vetor diretor é formado pelas taxas de variação de x,y,z em função do parâmetro. Por exemplo, em L_1 tanto x quanto y aumentam com passo 1 quando t aumenta em 1, e z não muda, daí (1,1,0).]

Passo 3

Para achar a interseção precisamos encontrar t\) e \(s\) tais que as coordenadas coincidam. Igualando as coordenadas: \[\begin{cases} t = 1 - s\\[6pt] t+1 = s\\[6pt] 1 = 1 \end{cases}
A terceira equação é sempre verdadeira (ambas têm (z=1]), então resolvemos as duas primeiras.
Da segunda equação temos
s = t+1.
Substituindo na primeira:
t = 1 - (t+1) = 1 - t - 1 = -t.
Logo
2t = 0 \quad\Rightarrow\quad t=0.
Então
s = t+1 = 1.
Com t=0 (ou s=1) obtemos o ponto de interseção. Substituindo em L_{1}:
(x,y,z) = (t,\,t+1,\,1) = (0,\,1,\,1).
Verificação em L_{2} com s=1:
(x,y,z) = (1-s,\,s,\,1) = (0,\,1,\,1).
Portanto as duas retas se interceptam exatamente no ponto (0,1,1). Assim
L_{1}\cap L_{2}=\{(0,1,1)\}.]

Passo 4

Agora o ângulo entre as retas: como dado, é o ângulo entre os vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
Fórmula (explicação didática): o produto interno (dot product) de dois vetores \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Ele se relaciona com o ângulo \theta entre eles por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} é a norma (comprimento) de \mathbf{a}. Assim
\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|}.
Exemplo rápido: vetores (1,0,0) e (0,1,0) têm produto zero, logo são perpendiculares.

Passo 5

Aplicando aos nossos vetores \mathbf{v}_1=(1,1,0) e \mathbf{v}_2=(-1,1,0):
Calcule o produto interno:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 1\cdot(-1) + 1\cdot1 + 0\cdot0 = -1 + 1 + 0 = 0.
Calcule as normas (para confirmar, embora não precisemos do valor numérico final quando o numerador é zero):
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}, \qquad \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.
Então
\cos\theta = \dfrac{0}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = 0.
Isto implica
\theta = \dfrac{\pi}{2}\quad\text{(ou }90^\circ\text{)}.
Interpretação: o produto interno nulo mostra que os vetores diretores são ortogonais, logo as retas se cruzam formando um ângulo reto. Observação geométrica rápida: ambas as retas estão contidas no plano z=1, cruzam-se em (0,1,1) e são perpendiculares nesse plano.

Resposta

L_{1}\cap L_{2}=\{(0,1,1)\}
\theta=\dfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ)

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