Questão 1: Sejam:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right)
Determine:
C \cdot B-3 D

Passo 1

O enunciado pede para determinar \;C\cdot B - 3D\;.
As matrizes fornecidas são:
C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 0\\[4pt]1 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Ou seja: calcular o produto matricial \;C\cdot B\; (que existirá porque C é 2\times3 e B é 3\times2) e depois subtrair a matriz 3D (multiplicação escalar de D por 3).]

Passo 2

Lembra como se calcula produto de matrizes: se X é m\times n e Y é n\times p, então XY é m\times p e cada entrada é dada por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde i é a linha e j é a coluna do produto. Aqui C tem m=2,n=3 e B tem n=3,p=2. Então (C B) será 2\times2 e cada entrada é soma de 3 produtos correspondentes.

Passo 3

Calculemos entrada a entrada do produto \;C\cdot B\;.
  • Entrada (1,1):
(CB)_{11}=C_{11}B_{11}+C_{12}B_{21}+C_{13}B_{31}=1\cdot 1 + 4\cdot 0 + 0\cdot 5 = 1 + 0 + 0 = 1.
  • Entrada (1,2):
(CB)_{12}=C_{11}B_{12}+C_{12}B_{22}+C_{13}B_{32}=1\cdot 2 + 4\cdot 1 + 0\cdot 2 = 2 + 4 + 0 = 6.
  • Entrada (2,1):
(CB)_{21}=C_{21}B_{11}+C_{22}B_{21}+C_{23}B_{31}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot 5 = 1 + 0 + 10 = 11.
  • Entrada (2,2):
(CB)_{22}=C_{21}B_{12}+C_{22}B_{22}+C_{23}B_{32}=1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot 2 = 2 - 1 + 4 = 5.

Passo 4

Escrevendo a matriz produto obtida:
C\cdot B=\begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]11 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos 3D (multiplicação escalar: cada entrada de D é multiplicada por 3):
3D=3\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente subtraímos matrizes de mesma dimensão de forma entrada a entrada:
C\cdot B-3D= \begin{pmatrix}1 & 6\\[4pt]11 & 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 6\\[4pt]-3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-3 & 6-6\\[4pt]11-(-3) & 5-3\end{pmatrix}.
Calculando cada diferença:
1-3=-2,\qquad 6-6=0,\qquad 11-(-3)=14,\qquad 5-3=2.]

Resposta

\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]14 & 2\end{pmatrix}]

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