Questão 1: Sejam:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right)
Determine:
\operatorname{det}(A)

Passo 1

O problema pede para determinar \det(A), onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
As outras matrizes B, C, D foram fornecidas no enunciado, mas a pergunta desta parte é apenas calcular \det(A).

Passo 2

Vou usar a regra de Sarrus para matrizes 3\times3. Para entender bem a fórmula, considere uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{pmatrix}.
A regra de Sarrus diz que
\det(M)=a e i + b f g + c d h - \bigl(c e g + a f h + b d i\bigr).
Explicando cada termo: multiplicamos as três entradas de cada uma das três diagonais que vão da esquerda superior para a direita inferior e somamos; depois subtraímos a soma dos produtos das três diagonais que vão da direita superior para a esquerda inferior. As letras a,b,\dots,i representam as entradas da matriz conforme a posição indicada.

Passo 3

Por que escolhi Sarrus? Porque A é 3\times3; a regra de Sarrus é direta e exige poucas contas manuais — ideal para prova sem complicar com operações de linha. (Outra forma seria expansão por cofatores; dá o mesmo resultado, mas é mais trabalhosa aqui.)

Passo 4

Agora identifiquemos as letras da regra de Sarrus com as entradas de A:
a=1,\quad b=2,\quad c=-1,
d=3,\quad e=4,\quad f=0,
g=1,\quad h=1,\quad i=1.

Passo 5

Calculemos os termos positivos da regra de Sarrus:
a e i = 1\cdot 4\cdot 1 = 4,
b f g = 2\cdot 0\cdot 1 = 0,
c d h = (-1)\cdot 3\cdot 1 = -3.
Somando esses três produtos:
\text{soma positiva} = 4 + 0 + (-3) = 1.

Passo 6

Agora os termos que serão subtraídos:
c e g = (-1)\cdot 4\cdot 1 = -4,
a f h = 1\cdot 0\cdot 1 = 0,
b d i = 2\cdot 3\cdot 1 = 6.
Somando esses três:
\text{soma negativa} = -4 + 0 + 6 = 2.
Aplicando a fórmula de Sarrus:
\det(A)=\text{soma positiva} - \text{soma negativa} = 1 - 2 = -1.

Passo 7

Verificação rápida (expansão por cofatores pela primeira linha) para conferir: usando a primeira linha (1,2,-1),
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-0\cdot1=4,
\det\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-0\cdot1=3,
\det\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-4\cdot1=-1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 4 - 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)=4-6+1=-1,
mesmo resultado — conferido.

Resposta

\det(A)=-1

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