Questão 1: Sejam:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right)
Determine:
A^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar A^{-1}, a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas:
A \text{ está explicitamente fornecida (elementos listados acima).}á
A única pergunta é: calcular A^{-1}.]

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda). Vou usar o método de Gauss–Jordan (eliminação por linhas) porque é um procedimento direto e elementar para calcular inversas: montamos a matriz aumentada [A\mid I] (onde I é a identidade 3\times3) e aplicamos operações elementares por linhas até transformar o lado esquerdo em I; então o lado direito resultante será A^{-1}.
Breve aula sobre conceitos usados:
  • A inversa de uma matriz A é a matriz B tal que \,AB=BA=I. Só existe se A for invertível (equivalentemente, se \det(A)\neq0).
  • Operações elementares por linhas permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não-nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares e preservam a equivalência linear; aplicadas à aumentada [A\mid I] produzem uma sequência de transformações que levam [A\mid I] a [I\mid A^{-1}] quando A é invertível.
  • Na prática, escolhemos pivôs (valores não nulos na diagonal) e eliminamos as entradas acima e abaixo deles, normalizando para 1 quando conveniente.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada inicial [A\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Objetivo: transformar o bloco esquerdo em I_3 usando operações por linhas. Primeiro, zeramos as entradas abaixo do pivô da linha 1 ( a_{11}=1).
Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculo de cada linha:
  • R_2 = (3,4,0)-(3)(1,2,-1) = (0,-2,3) e do lado direito (0,1,0)-3(1,0,0)=(-3,1,0).
  • R_3 = (1,1,1)-(1)(1,2,-1) = (0,-1,2) e do lado direito (0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1).
Matriz aumentada resultante:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 3 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 5

Normalizamos o pivô da segunda linha (coluna 2). O elemento é -2, então multiplicamos R_2 por -\tfrac{1}{2}:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2.
Resultado para R_2:
R_2 = (0,1,-\tfrac{3}{2}) \quad\text{e}\quad \text{lado direito } ( \tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}, 0).
Aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Eliminamos as outras entradas na coluna 2 (tornar zeros em a_{12} e a_{32}).
Fazemos
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Cálculos:
  • R_1 - 2R_2: esquerda (1,2,-1) - 2(0,1,-\tfrac{3}{2}) = (1,0,2). direita (1,0,0) - 2(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},0) = (1-3,0+1,0) = (-2,1,0).
  • R_3 + R_2: esquerda (0,-1,2) + (0,1,-\tfrac{3}{2}) = (0,0,\tfrac{1}{2}). direita (-1,0,1) + (\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},0) = (\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2},1).
Matriz aumentada agora:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{array}\right).]

Passo 7

Normalizamos o pivô da terceira linha (coluna 3). O elemento é \tfrac{1}{2}, então multiplicamos R_3 por 2:
R_3 \leftarrow 2R_3.
Isso dá
R_3 = (0,0,1)\quad\text{e}\quad \text{lado direito }(1,-1,2).
Aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right).]

Passo 8

Eliminamos as entradas acima do pivô da terceira coluna para obter zeros em a_{13} e a_{23}.
Fazemos
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3,\qquad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{3}{2}R_3.
Cálculos:
  • R_1 - 2R_3: esquerda (1,0,2) - 2(0,0,1) = (1,0,0). direita (-2,1,0) - 2(1,-1,2) = (-2-2,\,1+2,\,0-4) = (-4,3,-4).
  • R_2 + \tfrac{3}{2}R_3: esquerda (0,1,-\tfrac{3}{2}) + \tfrac{3}{2}(0,0,1) = (0,1,0). direita (\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2},0) + \tfrac{3}{2}(1,-1,2) = (\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2},\; -\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2},\; 0+3) = (3,-2,3).
Agora o bloco esquerdo é a identidade, e a aumentada final é
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -4 & 3 & -4\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 3 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right).]

Passo 9

Interpretação final: como obtivemos [I\mid X], a parte direita é A^{-1}. Sempre que quiser checar (na prova ou para ganhar confiança), multiplique A por essa matriz e verifique que dá I. Aqui a verificação rápida (uma linha de cálculo) confirma que A vezes a matriz à direita dá a identidade 3\times3 (pode checar elemento a elemento).

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} -4 & 3 & -4\\[4pt] 3 & -2 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}]

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