Questão 6. Sejam
um espaço vetorial com produto interno,
e
fixado arbitrariamente. Defina
Mostre que:
a) O valor mínimo de
é zero e o valor máximo de
é 2 .
b)
se e somente se
é ortogonal à
.
a) O valor mínimo de
b)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
-
Informações dadas:
-
é um espaço vetorial com produto interno . -
é a esfera unidade (ou conjunto dos vetores de norma ). -
é fixado, logo . - A função
é definida por .
-
-
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Mostrar que o valor mínimo deé e o valor máximo de é .
(b) Mostrar quese, e somente se, é ortogonal a (ou seja, ).
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando todas as ferramentas que usamos.
Passo 2
Primeira ferramenta: relação entre norma e produto interno e como expandir a norma do diferencial.
-
Definição que usamos: para qualquer
a norma é dada por . Portanto -
Vamos calcular a norma ao quadrado de
. Expandindo pelo produto interno temos Desenvolvendo o lado direito (usando linearidade e a propriedade de conjugação se for caso complexo) obtemosEm particular, em espaços reais isso simplifica para(Se o espaço for complexo, a fórmula correta émas neste exercício vamos trabalhar no caso usual real; onde não se especifica normalmente considera-se produto interno real.)
Segunda ferramenta: desigualdade de Cauchy–Schwarz.
- A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer
, Quando , essa desigualdade dá Além disso, o caso de igualdade (por exemplo ) ocorre exatamente quando e são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
Vou usar essas duas ferramentas a seguir.
Passo 3
Aplicando a fórmula do Passo 2 ao nosso caso, com
, obtemos
Agora usamos Cauchy–Schwarz: para vetores unitários temos
. Substituindo esses extremos na expressão acima:
-
Se
, então logo. -
Se
, então logo.
Como
varia entre
e
, a quantidade
varia entre
e
. Assim obtemos
ou equivalentemente
Isto mostra que a imagem de
está contida no intervalo
. Para provar que os extremos são realmente atingidos basta dar exemplos concretos: tomar
(que pertence a
) dá
; tomar
(que também está em
) dá
. Portanto o mínimo de
é
e o máximo é
. Isto responde a parte (a).
Passo 4
Vou explicar com calma por que os casos extremos correspondem exatamente a
e
.
-
Caso mínimo
: Se então . Pela expressão segue que , isto é . Como os vetores têm norma , a igualdade é a igualdade em Cauchy–Schwarz, e isso só acontece quando é múltiplo escalar de . Com o único múltiplo possível é . Logo o mínimo ocorre exatamente em . -
Caso máximo
: Se então . Pela expressão obtemos , portanto . Novamente, para vetores unitários, é a igualdade negativa máxima e implica que . Logo o máximo ocorre exatamente em .
Passo 5
Agora a parte (b): provar que
se, e somente se,
é ortogonal a
.
-
Começamos do lado esquerdo. Suponha que
. Então Usando a fórmulaobtemos Subtraindodos dois lados segue logoIsto significa exatamente quee são ortogonais. Assim mostramos que . -
Agora o sentido contrário. Suponha que
. Então, pela mesma fórmula, e portanto. Ou seja, .
Assim as duas implicações valem e concluímos
se, e somente se,
é ortogonal a
.
Observação didática rápida: geometricamente, quando
e
têm norma
e são ortogonais, eles formam um ângulo de
e, no triângulo formado por
,
e
, o teorema de Pitágoras dá exatamente
, que é outra maneira bem intuitiva de ver a equivalência.
Resposta
(a) Mínimo
e máximo
.
(b) se, e somente se,
(isto é,
é ortogonal a
).
(b)