Questão 6. Sejam \mathbb{V} um espaço vetorial com produto interno, S=\{v \in \mathbb{V} ;\|v\|=1\} e u \in S fixado arbitrariamente. Defina
\begin{aligned} f: S & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ v & \mapsto f(v)=\|u-v\| \end{aligned}
Mostre que:
a) O valor mínimo de f é zero e o valor máximo de f é 2 .
b) f(v)=\sqrt{2} se e somente se v é ortogonal à u.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informações dadas:
    • \mathbb{V} é um espaço vetorial com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
    • S=\{v\in\mathbb{V}\;:\;\|v\|=1\} é a esfera unidade (ou conjunto dos vetores de norma 1).
    • u\in S é fixado, logo \|u\|=1.
    • A função f:S\to\mathbb{R} é definida por f(v)=\|u-v\|.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    (a) Mostrar que o valor mínimo de f é 0 e o valor máximo de f é 2.
    (b) Mostrar que f(v)=\sqrt{2} se, e somente se, v é ortogonal a u (ou seja, \langle u,v\rangle=0).
A partir daqui vamos resolver passo a passo, explicando todas as ferramentas que usamos.

Passo 2

Primeira ferramenta: relação entre norma e produto interno e como expandir a norma do diferencial.
  • Definição que usamos: para qualquer x\in\mathbb{V} a norma é dada por \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Portanto
    \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle.
  • Vamos calcular a norma ao quadrado de u-v. Expandindo pelo produto interno temos
    \|u-v\|^{2}=\langle u-v,u-v\rangle.
    Desenvolvendo o lado direito (usando linearidade e a propriedade de conjugação se for caso complexo) obtemos
    \|u-v\|^{2}=\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle-\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle.
    Em particular, em espaços reais isso simplifica para
    \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle.
    (Se o espaço for complexo, a fórmula correta é
    \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle,
    mas neste exercício vamos trabalhar no caso usual real; onde não se especifica normalmente considera-se produto interno real.)
Segunda ferramenta: desigualdade de Cauchy–Schwarz.
  • A desigualdade de Cauchy–Schwarz diz que, para quaisquer x,y\in\mathbb{V}, |\langle x,y\rangle|\le \|x\|\,\|y\|.Quando \|x\|=\|y\|=1, essa desigualdade dá -1\le \langle x,y\rangle\le 1.Além disso, o caso de igualdade (por exemplo \langle x,y\rangle = \|x\|\|y\|) ocorre exatamente quando x e y são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro).
Vou usar essas duas ferramentas a seguir.

Passo 3

Aplicando a fórmula do Passo 2 ao nosso caso, com \|u\|=\|v\|=1, obtemos
\|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-2\langle u,v\rangle = 1+1-2\langle u,v\rangle = 2-2\langle u,v\rangle.
Agora usamos Cauchy–Schwarz: para vetores unitários temos -1\le \langle u,v\rangle\le 1. Substituindo esses extremos na expressão acima:
  • Se \langle u,v\rangle=1, então
    \|u-v\|^{2}=2-2\cdot 1=0,
    logo \|u-v\|=0.
  • Se \langle u,v\rangle=-1, então
    \|u-v\|^{2}=2-2\cdot(-1)=4,
    logo \|u-v\|=2.
Como \langle u,v\rangle varia entre -1 e 1, a quantidade 2-2\langle u,v\rangle varia entre 0 e 4. Assim obtemos
0\le \|u-v\|^{2}\le 4,
ou equivalentemente
0\le \|u-v\|\le 2.
Isto mostra que a imagem de f está contida no intervalo [0,2]. Para provar que os extremos são realmente atingidos basta dar exemplos concretos: tomar v=u (que pertence a S) dá f(u)=\|u-u\|=0; tomar v=-u (que também está em S) dá f(-u)=\|u-(-u)\|=\|2u\|=2. Portanto o mínimo de f é 0 e o máximo é 2. Isto responde a parte (a).

Passo 4

Vou explicar com calma por que os casos extremos correspondem exatamente a v=u e v=-u.
  • Caso mínimo 0: Se \|u-v\|=0 então \|u-v\|^{2}=0. Pela expressão \|u-v\|^{2}=2-2\langle u,v\rangle segue que 2-2\langle u,v\rangle=0, isto é \langle u,v\rangle=1. Como os vetores têm norma 1, a igualdade \langle u,v\rangle=1=\|u\|\|v\| é a igualdade em Cauchy–Schwarz, e isso só acontece quando v é múltiplo escalar de u. Com \|v\|=1 o único múltiplo possível é v=u. Logo o mínimo 0 ocorre exatamente em v=u.
  • Caso máximo 2: Se \|u-v\|=2 então \|u-v\|^{2}=4. Pela expressão obtemos 2-2\langle u,v\rangle=4, portanto \langle u,v\rangle=-1. Novamente, para vetores unitários, \langle u,v\rangle=-1 é a igualdade negativa máxima e implica que v=-u. Logo o máximo 2 ocorre exatamente em v=-u.

Passo 5

Agora a parte (b): provar que f(v)=\sqrt{2} se, e somente se, v é ortogonal a u.
  • Começamos do lado esquerdo. Suponha que f(v)=\sqrt{2}. Então
    \|u-v\|^{2} = \bigl(f(v)\bigr)^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2.
    Usando a fórmula \|u-v\|^{2}=2-2\langle u,v\rangle obtemos
    2-2\langle u,v\rangle = 2.
    Subtraindo 2 dos dois lados segue
    -2\langle u,v\rangle = 0,
    logo
    \langle u,v\rangle = 0.
    Isto significa exatamente que u e v são ortogonais. Assim mostramos que f(v)=\sqrt{2} \Rightarrow \langle u,v\rangle=0.
  • Agora o sentido contrário. Suponha que \langle u,v\rangle = 0. Então, pela mesma fórmula,
    \|u-v\|^{2}=2-2\cdot 0=2,
    e portanto \|u-v\|=\sqrt{2}. Ou seja, \langle u,v\rangle=0 \Rightarrow f(v)=\sqrt{2}.
Assim as duas implicações valem e concluímos f(v)=\sqrt{2} se, e somente se, v é ortogonal a u.
Observação didática rápida: geometricamente, quando u e v têm norma 1 e são ortogonais, eles formam um ângulo de 90^\circ e, no triângulo formado por u, v e u-v, o teorema de Pitágoras dá exatamente \|u-v\|^{2}=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}=1+1=2, que é outra maneira bem intuitiva de ver a equivalência.

Resposta

(a) Mínimo 0 e máximo 2.
(b) f(v)=\sqrt{2} se, e somente se, \langle u,v\rangle=0 (isto é, v é ortogonal a u).

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