Questão 11. Considere
\mathbb{V}=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} ; f \text { é contínua }\}éí
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
\langle f, g\rangle=\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x
(a) Mostre que \langle\cdot, \cdot\rangle define um produto interno em \mathbb{V}.
(b) Calcule os ângulo entre as funções f(x)=1+x e g(x)=1-x.
(c) Considere h(x)=a+6 x e determine a de modo que o ângulo entre f e h seja \frac{\pi}{3}.
(d) Determine o ângulo entre f e p(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço de funções contínuas
\mathbb{V}=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\;;\;f\text{ é contínua}\}éí
com as operações usuais (soma de funções e multiplicação por escalar) e define a aplicação
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x.
As perguntas são:
(a) Mostrar que \langle\cdot,\cdot\rangle define um produto interno em \mathbb{V} (ou seja, verificar as propriedades necessárias).
(b) Calcular o ângulo entre f(x)=1+x e g(x)=1-x.
(c) Para h(x)=a+6x, determinar a tal que o ângulo entre f e h seja \frac{\pi}{3}.
(d) Determinar o ângulo entre f e p(x)=e^{x}.
Informações relevantes dadas no enunciado que usaremos: a definição do produto interno via integral e as funções explícitas f,g,h,p.

Passo 2

O que significa “produto interno” e quais propriedades precisamos verificar (vou explicar cada uma devagarinho):
Uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:\mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathbb{R} é produto interno se, para todos u,v,w\in\mathbb{V} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem:
  1. (Simetria) \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
  2. (Linearidade na primeira variável) \langle \alpha u+v,w\rangle = \alpha\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle.
  3. (Positividade definida) \langle v,v\rangle\ge 0, e \langle v,v\rangle=0 se e só se v é a função nula (identicamente zero).
Vou agora usar a definição \langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x e verificar cada item.

Passo 3

Verificação da simetria:
Para quaisquer f,g\in\mathbb{V},
\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^1 g(x)f(x)\,\mathrm{d}x=\langle g,f\rangle.
Aqui usei que a multiplicação de números reais é comutativa em cada ponto x.

Passo 4

Verificação da linearidade na primeira variável:
Se f_1,f_2,g\in\mathbb{V} e \alpha\in\mathbb{R}, então
\langle \alpha f_1+f_2,g\rangle=\int_0^1 (\alpha f_1(x)+f_2(x))g(x)\,\mathrm{d}x.
Pela linearidade da integral (propriedade básica: integral de soma é soma das integrais, integral de constante vezes função é constante vezes integral),
\int_0^1 (\alpha f_1(x)+f_2(x))g(x)\,\mathrm{d}x =\alpha\int_0^1 f_1(x)g(x)\,\mathrm{d}x+\int_0^1 f_2(x)g(x)\,\mathrm{d}x =\alpha\langle f_1,g\rangle+\langle f_2,g\rangle.
Logo a linearidade está comprovada.

Passo 5

Verificação da positividade definida:
Para qualquer f\in\mathbb{V},
\langle f,f\rangle=\int_0^1 f(x)^2\,\mathrm{d}x.
Como f(x)^2\ge 0 para todo x, a integral é \ge 0. Agora, por que \langle f,f\rangle=0 implica f\equiv 0? Use o fato de que f é contínua: se f não fosse identicamente zero, existiria algum ponto x_0\in[0,1] com f(x_0)\neq 0. Pela continuidade haveria um intervalo pequeno onde |f(x)| é estritamente positiva; então f(x)^2>0 nesse intervalo, e a integral seria estritamente positiva — contradição. Portanto \langle f,f\rangle=0 só se f for a função nula. Assim a positividade definida vale.
Concluímos que \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, ou seja, é um produto interno em \mathbb{V}.

Passo 6

Agora precisamos da fórmula do ângulo entre duas funções no espaço com produto interno: a norma associada é
\|f\|=\sqrt{\langle f,f\rangle}=\sqrt{\int_0^1 f(x)^2\,\mathrm{d}x},
e o cosseno do ângulo \theta entre f e g é
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\,\|g\|}.
Explico: isso é análogo ao produto escalar em \mathbb{R}^n; a razão entre o produto interno e o produto das normas dá o cosseno do ângulo. Em prova, basta lembrar essa definição e calcular os integrais necessários.

Passo 7

Parte (b): calcular o ângulo entre f(x)=1+x e g(x)=1-x.
Primeiro calculo o produto interno:
\langle f,g\rangle=\int_0^1 (1+x)(1-x)\,\mathrm{d}x=\int_0^1 (1-x^2)\,\mathrm{d}x.
Calculo do integral:
\int_0^1 (1-x^2)\,\mathrm{d}x=\Big[x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Agora as normas:
\|f\|^2=\int_0^1 (1+x)^2\,\mathrm{d}x=\int_0^1 (1+2x+x^2)\,\mathrm{d}x =\Big[x+x^2+\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Logo \|f\|=\sqrt{\tfrac{7}{3}}.
E
\|g\|^2=\int_0^1 (1-x)^2\,\mathrm{d}x=\int_0^1 (1-2x+x^2)\,\mathrm{d}x =\Big[x-x^2+\frac{x^3}{3}\Big]_0^1=1-1+\frac{1}{3}=\frac{1}{3},
logo \|g\|=\sqrt{\tfrac{1}{3}}.
Agora o cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{\langle f,g\rangle}{\|f\|\,\|g\|}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{\tfrac{1}{3}}}.
Simplificando: \sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\sqrt{\tfrac{7}{9}}=\tfrac{\sqrt{7}}{3}. Assim
\cos\theta=\frac{2/3}{\sqrt{7}/3}=\frac{2}{\sqrt{7}}.
Portanto o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{2}{\sqrt{7}}\bigg).

Passo 8

Parte (c): para h(x)=a+6x, queremos o valor de a tal que o ângulo entre f e h seja \frac{\pi}{3}. Lembre que \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}. Então impomos
\frac{\langle f,h\rangle}{\|f\|\,\|h\|}=\frac{1}{2}.
Calculo \langle f,h\rangle:
\langle f,h\rangle=\int_0^1 (1+x)(a+6x)\,\mathrm{d}x =\int_0^1 \big(a+(6+a)x+6x^2\big)\,\mathrm{d}x.
Integral termo a termo:
\int_0^1 a\,\mathrm{d}x = a,\qquad \int_0^1 (6+a)x\,\mathrm{d}x=\frac{6+a}{2},\qquad \int_0^1 6x^2\,\mathrm{d}x=2.
Somando:
\langle f,h\rangle = a+\frac{6+a}{2}+2=\frac{3a+10}{2}.
\|h\|^2=\int_0^1 (a+6x)^2\,\mathrm{d}x=\int_0^1 (a^2+12ax+36x^2)\,\mathrm{d}x.
Calculo:
\|h\|^2 = a^2 + 12a\cdot\frac{1}{2} +36\cdot\frac{1}{3}=a^2+6a+12.
Lembrando \|f\|^2=\tfrac{7}{3} (do passo anterior), a condição \frac{\langle f,h\rangle}{\|f\|\,\|h\|}=\tfrac{1}{2} fica
\frac{\tfrac{3a+10}{2}}{\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{a^2+6a+12}}=\frac{1}{2}.
Multiplico ambos os lados por 2:
\frac{3a+10}{\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{a^2+6a+12}}=1.
Isolo e elevo ao quadrado para eliminar raízes (vou checar o sinal depois):
(3a+10)^2=\frac{7}{3}\,(a^2+6a+12).
Multiplicando por 3 para escapar do denominador:
3(3a+10)^2 = 7(a^2+6a+12).
Expandindo e simplificando obtemos uma equação quadrática. Fazendo as contas:
27a^2+180a+300 = 7a^2+42a+84,
20a^2+138a+216=0.
Dividindo por 2:
10a^2+69a+108=0.
Discriminante:
\Delta=69^2-4\cdot10\cdot108=4761-4320=441=(21)^2.
Raízes:
a=\frac{-69\pm 21}{20}.
Assim
a_1=\frac{-69+21}{20}=\frac{-48}{20}=-\frac{12}{5},\qquad a_2=\frac{-69-21}{20}=\frac{-90}{20}=-\frac{9}{2}.
Mas atenção: voltamos à equação não quadrada original
3a+10=\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{a^2+6a+12},
onde o lado direito é \ge 0. Então o lado esquerdo deve ser \ge 0, isto é 3a+10\ge 0\Rightarrow a\ge -\tfrac{10}{3}\approx -3{,}333\ldots. Entre as duas raízes, a_1=-\tfrac{12}{5}=-2{,}4 satisfaz a\ge -\tfrac{10}{3}, enquanto a_2=-\tfrac{9}{2}=-4{,}5 não satisfaz. Portanto a única solução válida é
a=-\frac{12}{5}.

Passo 9

Parte (d): ângulo entre f(x)=1+x e p(x)=e^x.
Calculo o produto interno:
\langle f,p\rangle=\int_0^1 (1+x)e^x\,\mathrm{d}x = \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x + \int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x.
Conhecemos \int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x = e-1. Para \int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x uso integração por partes: tomar u=x, dv=e^x dx du=dx, v=e^x, então
\int x e^x\,\mathrm{d}x = x e^x - \int e^x\,\mathrm{d}x = e^x(x-1)+C.
Avaliando de 0 a 1:
\int_0^1 x e^x\,\mathrm{d}x = \big[e^x(x-1)\big]_0^1 = e(1-1)-1(0-1)=0-(-1)=1.
Portanto
\langle f,p\rangle=(e-1)+1=e.
Agora \|f\|=\sqrt{\tfrac{7}{3}} (já obtido) e
\|p\|^2=\int_0^1 e^{2x}\,\mathrm{d}x=\Big[\frac{e^{2x}}{2}\Big]_0^1=\frac{e^2-1}{2},
logo \|p\|=\sqrt{\tfrac{e^2-1}{2}}.
Assim o cosseno do ângulo \theta entre f e p é
\cos\theta=\frac{\langle f,p\rangle}{\|f\|\,\|p\|}=\frac{e}{\sqrt{\tfrac{7}{3}}\sqrt{\tfrac{e^2-1}{2}}}.
Podemos simplificar sob uma única raiz:
\cos\theta=\frac{e}{\sqrt{\tfrac{7(e^2-1)}{6}}}=\frac{e\sqrt{6}}{\sqrt{7(e^2-1)}}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{e}{\sqrt{\tfrac{7(e^2-1)}{6}}}\bigg) =\operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{e\sqrt{6}}{\sqrt{7(e^2-1)}}\bigg).

Resposta

(a) \langle f,g\rangle=\int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x é um produto interno em \mathbb{V} (simetria, linearidade e positividade definida verificadas).
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\bigg).
(c) a=-\dfrac{12}{5}.
(d) \theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\dfrac{e}{\sqrt{\tfrac{7(e^2-1)}{6}}}\bigg)=\operatorname{arccos}\!\bigg(\dfrac{e\sqrt{6}}{\sqrt{7(e^2-1)}}\bigg).

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