Questão 11. Considere
munido com as operações de soma e produto por escalar usuais. Defina
(a) Mostre que
define um produto interno em
.
(b) Calcule os ângulo entre as funções
e
.
(c) Considere
e determine
de modo que o ângulo entre
e
seja
.
(d) Determine o ângulo entre
e
.
(b) Calcule os ângulo entre as funções
(c) Considere
(d) Determine o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá o espaço de funções contínuas
com as operações usuais (soma de funções e multiplicação por escalar) e define a aplicação
As perguntas são:
(a) Mostrar que define um produto interno em
(ou seja, verificar as propriedades necessárias).
(b) Calcular o ângulo entre e
.
(c) Para , determinar
tal que o ângulo entre
e
seja
.
(d) Determinar o ângulo entre e
.
(a) Mostrar que
(b) Calcular o ângulo entre
(c) Para
(d) Determinar o ângulo entre
Informações relevantes dadas no enunciado que usaremos: a definição do produto interno via integral e as funções explícitas
.
Passo 2
O que significa “produto interno” e quais propriedades precisamos verificar (vou explicar cada uma devagarinho):
Uma aplicação é produto interno se, para todos
e todo escalar
, valem:
Uma aplicação
- (Simetria)
. - (Linearidade na primeira variável)
. - (Positividade definida)
, e se e só se é a função nula (identicamente zero).
Vou agora usar a definição
e verificar cada item.
Passo 3
Verificação da simetria:
Para quaisquer ,
Para quaisquer
Aqui usei que a multiplicação de números reais é comutativa em cada ponto
.
Passo 4
Verificação da linearidade na primeira variável:
Se e
, então
Se
Pela linearidade da integral (propriedade básica: integral de soma é soma das integrais, integral de constante vezes função é constante vezes integral),
Logo a linearidade está comprovada.
Passo 5
Verificação da positividade definida:
Para qualquer ,
Para qualquer
Como
para todo
, a integral é
. Agora, por que
implica
? Use o fato de que
é contínua: se
não fosse identicamente zero, existiria algum ponto
com
. Pela continuidade haveria um intervalo pequeno onde
é estritamente positiva; então
nesse intervalo, e a integral seria estritamente positiva — contradição. Portanto
só se
for a função nula. Assim a positividade definida vale.
Concluímos que
satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, ou seja, é um produto interno em
.
Passo 6
Agora precisamos da fórmula do ângulo entre duas funções no espaço com produto interno: a norma associada é
e o cosseno do ângulo
entre
e
é
Explico: isso é análogo ao produto escalar em
; a razão entre o produto interno e o produto das normas dá o cosseno do ângulo. Em prova, basta lembrar essa definição e calcular os integrais necessários.
Passo 7
Parte (b): calcular o ângulo entre
e
.
Primeiro calculo o produto interno:
Primeiro calculo o produto interno:
Calculo do integral:
Agora as normas:
Logo
.
E
E
logo
.
Agora o cosseno do ângulo:
Agora o cosseno do ângulo:
Simplificando:
. Assim
Portanto o ângulo é
Passo 8
Parte (c): para
, queremos o valor de
tal que o ângulo entre
e
seja
. Lembre que
. Então impomos
Calculo
:
Integral termo a termo:
Somando:
Já
.
Calculo:
Calculo:
Lembrando
(do passo anterior), a condição
fica
Multiplico ambos os lados por 2:
Isolo e elevo ao quadrado para eliminar raízes (vou checar o sinal depois):
Multiplicando por 3 para escapar do denominador:
Expandindo e simplificando obtemos uma equação quadrática. Fazendo as contas:
Dividindo por 2:
Discriminante:
Raízes:
Assim
Mas atenção: voltamos à equação não quadrada original
onde o lado direito é
. Então o lado esquerdo deve ser
, isto é
. Entre as duas raízes,
satisfaz
, enquanto
não satisfaz. Portanto a única solução válida é
Passo 9
Parte (d): ângulo entre
e
.
Calculo o produto interno:
Calculo o produto interno:
Conhecemos
. Para
uso integração por partes: tomar
,
dá
,
, então
Avaliando de 0 a 1:
Portanto
Agora
(já obtido) e
logo
.
Assim o cosseno do ângulo entre
e
é
Assim o cosseno do ângulo
Podemos simplificar sob uma única raiz:
Portanto
Resposta
(a)
é um produto interno em
(simetria, linearidade e positividade definida verificadas).
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)