Questão 4: Sejam A e B as matrizes abaixo:
A=[llll 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 ] e B=[llll 1 & 8 & 9 & 0 2 & 7 & 9 & 0 3 & 6 & 9 & 0 4 & 5 & 9 & 1 ]
Justifique, sem calcular os determinantes, porque det A=det B=0

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 4times4,
A= 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 , B= 1 & 8 & 9 & 0 2 & 7 & 9 & 0 3 & 6 & 9 & 0 4 & 5 & 9 & 1 ,
e pede-se para justificar sem calcular diretamente os determinantes que det A=0 e det B=0. Vamos usar propriedades de determinantes: se duas linhas (ou colunas) são iguais ou se existe dependência linear entre linhas (ou colunas), então o determinante é zero.

Passo 2

Observe A: a primeira linha é
linha1 = (1,0,1,0)
e a quarta linha é
linha4 = (1,0,1,0)
Como linha1 = linha4, duas linhas de A são idênticas, logo existem dependência linear trivial entre elas. Portanto
det A = 0

Passo 3

Para B, note que a quarta coluna é (0,0,0,1)^T. Podemos expandir o determinante de B por essa coluna ou usar a fórmula de determinante de bloco: escreva
B = C & 0 d^T & 1 ,
onde
C = 1 & 8 & 9 2 & 7 & 9 3 & 6 & 9 , 0=000, d^T=(4,5,9)
Nessa forma vale
det B = det(C),cdot 1 = det C

Passo 4

Basta mostrar que det C=0. Examine as linhas de C:
r1=(1,8,9), r2=(2,7,9), r3=(3,6,9)
Note que
r1 + r3 = (1+3,;8+6,;9+9) = (4,14,18),
enquanto
2,r2 = 2,(2,7,9) = (4,14,18)
Logo
r1 + r3 - 2,r2 = (0,0,0),
mostrando dependência linear entre as linhas de C. Assim det C=0 e, em consequência,
det B = 0

Resposta

det A = 0 e det B = 0.

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