a) Escreva det(M) em função de lambda.
b) Determine todos os valores de lambda in R para que o sistema homogêneo M X=0 admita solução não-trivial.
c) Para cada valor de lambda encontrado no ítem anterior, escreva a solução geral do sistema homogêneo correspondente.
e define M=A-lambda I4.
a) Preciso calcular det(M) em função de lambda.
b) O sistema homogêneo MX=0 tem solução não trivial se e só se det(M)=0.
c) Para cada raiz lambda de det(M), encontro a solução geral de MX=0.
Passo 2
Para calcular det(M) uso expansão pela primeira linha. Escrevo
Usando 1-lambda=-(lambda-1) e lambda^2+3lambda-4=(lambda-1)(lambda+4), obtemos
det(M)=(lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2
Passo 3
O sistema homogêneo MX=0 admite solução não trivial se e só se
det(M)=0iff (lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2=0
Portanto
lambdain-1,,-4,,1
Passo 4
Para temos , isto é
As equações são
Dessas vem , , e livre. Logo a solução geral é
Passo 5
Para lambda=-4 temos M=A+4I,
3&3&-2&0 0&5&0&1 0&0&3&2 0&0&3&2 X=0
As equações dão
5x2+x4=0, 3x3+2x4=0, 3x1+3x2-2x3=0
Escolhendo x2=s, obtemos x4=-5s, x3=tfrac103s e x1=tfrac119s. Multiplicando por 9, a base do espaço solução pode ser escolhida como
X=t,(11,9,30,-45), tin R
Passo 6
Para lambda=1 temos M=A-I,
-2&3&-2&0 0&0&0&1 0&0&-2&2 0&0&3&-3 X=0
Dessas equações vêm x4=0, x3=0 e -2x1+3x2=0, isto é x1=tfrac32x2. Logo
X=t,(3,2,0,0), tin R
Resposta
(a) det(M)=(lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2
(b) lambdain-1,-4,1
(c) Para lambda=-1, X=t,(1,0,0,0).
Para lambda=-4, X=t,(11,9,30,-45).
Para lambda=1, X=t,(3,2,0,0), com tin R.