Questão 3: Sejam A e M as matrizes abaixo:
A=[rrrr -1 & 3 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 3 & -2 ] e M=A-lambda I4
a) Escreva det(M) em função de lambda.
b) Determine todos os valores de lambda in R para que o sistema homogêneo M X=0 admita solução não-trivial.
c) Para cada valor de lambda encontrado no ítem anterior, escreva a solução geral do sistema homogêneo correspondente.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= -1 & 3 & -2 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 2 0 & 0 & 3 & -2
e define M=A-lambda I4.
a) Preciso calcular det(M) em função de lambda.
b) O sistema homogêneo MX=0 tem solução não trivial se e só se det(M)=0.
c) Para cada raiz lambda de det(M), encontro a solução geral de MX=0.

Passo 2

Para calcular det(M) uso expansão pela primeira linha. Escrevo
M= -1-lambda & 3 & -2 & 0 0 & 1-lambda & 0 & 1 0 & 0 & -1-lambda & 2 0 & 0 & 3 & -2-lambda
Expansão em cofatores pela linha 1 dá
det(M) =(-1-lambda),De<a11-3,De<a12+(-2),De<a13,
onde De<a11 é o determinante do menor que elimina linha 1 e coluna 1, e os outros menores são nulos porque têm coluna inteira zero. Assim
De<a11=(1-lambda)det-1-lambda&23&-2-lambda =(1-lambda)l((lambda+1)(lambda+2)-6r) =(1-lambda)(lambda^2+3lambda-4)
Logo
det(M)=(-1-lambda),(1-lambda)(lambda^2+3lambda-4)
Usando 1-lambda=-(lambda-1) e lambda^2+3lambda-4=(lambda-1)(lambda+4), obtemos
det(M)=(lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2

Passo 3

O sistema homogêneo MX=0 admite solução não trivial se e só se
det(M)=0iff (lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2=0
Portanto
lambdain-1,,-4,,1

Passo 4

Para temos , isto é
As equações são
Dessas vem , , e livre. Logo a solução geral é

Passo 5

Para lambda=-4 temos M=A+4I,
3&3&-2&0 0&5&0&1 0&0&3&2 0&0&3&2 X=0
As equações dão
5x2+x4=0, 3x3+2x4=0, 3x1+3x2-2x3=0
Escolhendo x2=s, obtemos x4=-5s, x3=tfrac103s e x1=tfrac119s. Multiplicando por 9, a base do espaço solução pode ser escolhida como
X=t,(11,9,30,-45), tin R

Passo 6

Para lambda=1 temos M=A-I,
-2&3&-2&0 0&0&0&1 0&0&-2&2 0&0&3&-3 X=0
Dessas equações vêm x4=0, x3=0 e -2x1+3x2=0, isto é x1=tfrac32x2. Logo
X=t,(3,2,0,0), tin R

Resposta

(a) det(M)=(lambda+1)(lambda+4)(lambda-1)^2
(b) lambdain-1,-4,1
(c) Para lambda=-1, X=t,(1,0,0,0).
Para lambda=-4, X=t,(11,9,30,-45).
Para lambda=1, X=t,(3,2,0,0), com tin R.

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