Questão.
Sejam
e
.
(a) Calcule
, onde
é a circunferência unitária
.
(b) Calcule
onde
é limitada por
.
(a) Calcule
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e a circunferência unitária
. Pede duas coisas:
- Calcular
, onde é a circunferência unitária. (Como o enunciado não especifica orientação, vou assumir a orientação positiva (contra‑horária), que é o padrão em cálculo.) - Calcular
, onde é a região limitada pela mesma circunferência .
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
. - Curva
: (circunferência unitária), região interna é o disco de raio . - Suponho orientação positiva (contra‑horária) para
.
Passo 2
Método direto para (a): parametrização da circunferência unitária.
- Para parametrizar a circunferência unitária com orientação positiva usamos
- As derivadas são
Explicação didática: parametrizar é trocar a variável
por uma única variável
que percorre a curva; aí
e
viram expressões em
que substituímos na integral de linha.
Passo 3
Substituindo
,
,
,
em
.
- Primeiro escrevemos
e ao longo da curva:
- Então
- Simplificando:
Lembrete básico:
para todo
.
Passo 4
Avaliação da integral de linha (a).
- A integral sobre
vira integral em :
Interpretação: ao caminhar uma volta completa na circunferência, a contribuição integrada do campo vetorial
soma
.
Passo 5
Agora a parte (b): usar a expressão do integrando.
- Calculamos as derivadas parciais pedidas:
- Portanto o integrando é
Explicação didática: derivada parcial em relação a
trata
como constante; em relação a
tratamos
como constante.
Passo 6
Avaliação do duplo integral sobre o disco
.
- Como o integrando é constante
, temos
- A área do disco de raio
é . Logo o resultado é
Se preferir ver em coordenadas polares:
e
Passo 7
Comentário final e ligação entre (a) e (b).
- Observamos que os dois resultados coincidem:
e . - Isso é exatamente o que o Teorema de Green prevê para campos e curvas bem comportadas: a circulação do campo ao longo da fronteira iguala o duplo integral da circulação por unidade de área dentro da região. Não precisa usar o teorema para resolver (a) se você parametrizar, mas ele oferece uma verificação elegante.
Resposta
(a)
(b)
(b)