Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
- A função integranda é
multiplicada por . - A integral é indefinida, então o resultado deve ser uma família de primitivas (com constante de integração).
- Foi pedido para usar o método da substituição (ou seja, trocar uma expressão por uma nova variável para simplificar a integral).
Passo 2
Identificar uma boa substituição. A ideia da substituição é escolher uma nova variável que simplifique a parte “complicada” da integral — normalmente o argumento de uma função composta. Aqui o argumento dentro de
é
, então uma escolha natural é definir
Vou explicar por quê: quando fazemos
queremos que o diferencial
apareça, e
vem de diferenciar
em relação a
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
e reescrever
em termos de
.
Diferenciando em relação a
obtemos
Diferenciando
Isso significa que
Queremos substituir
na integral original; isolando
temos
Passo 4
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
na integral original obtemos
Como
é constante, podemos tirá-la para fora da integral:
Agora usamos a regra básica de primitivação: a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim
Passo 5
Voltar à variável original
. Substituindo
de volta, a integral fica
Verificação rápida (útil na prova): derivando
usando a regra da cadeia temos
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.