Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int x \cdot \operatorname{sec} ^{2}\left(5 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \cdot \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(5x^{2}\bigr)\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função integranda é x multiplicada por \operatorname{sec}^{2}\bigl(5x^{2}\bigr).
  • A integral é indefinida, então o resultado deve ser uma família de primitivas (com constante de integração).
  • Foi pedido para usar o método da substituição (ou seja, trocar uma expressão por uma nova variável para simplificar a integral).

Passo 2

Identificar uma boa substituição. A ideia da substituição é escolher uma nova variável que simplifique a parte “complicada” da integral — normalmente o argumento de uma função composta. Aqui o argumento dentro de \operatorname{sec}^{2} é \,5x^{2}\,, então uma escolha natural é definir
u = 5x^{2}.
Vou explicar por quê: quando fazemos u=5x^{2} queremos que o diferencial du apareça, e du vem de diferenciar u em relação a x. Vamos calcular du.

Passo 3

Calcular du e reescrever x\,dx em termos de du.
Diferenciando \,u=5x^{2}\, em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = 10x.
Isso significa que
du = 10x\,dx.
Queremos substituir x\,dx na integral original; isolando x\,dx temos
x\,dx = \frac{du}{10}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=5x^{2} e x\,dx=\dfrac{du}{10} na integral original obtemos
\int x\cdot \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(5x^{2}\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \frac{du}{10}.
Como \dfrac{1}{10} é constante, podemos tirá-la para fora da integral:
\int x\cdot \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(5x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{10}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Agora usamos a regra básica de primitivação: a derivada de \tan(u) é \operatorname{sec}^{2}(u). Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}(u) é \tan(u). Assim
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.

Passo 5

Voltar à variável original x. Substituindo u=5x^{2} de volta, a integral fica
\frac{1}{10}\tan(u) + C = \frac{1}{10}\tan\bigl(5x^{2}\bigr) + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando \dfrac{1}{10}\tan\bigl(5x^{2}\bigr) usando a regra da cadeia temos
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{10}\tan\bigl(5x^{2}\bigr)\right] = \frac{1}{10}\operatorname{sec}^{2}\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot 10x = x\operatorname{sec}^{2}\bigl(5x^{2}\bigr),
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{10}\tan\bigl(5x^{2}\bigr)+C

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