Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (isto é, uma função cuja derivada seja a integranda) e acrescentar a constante de integração
. - O método exigido é o da Substituição.
Passo 2
Vamos escolher uma substituição óbvia: observar que a derivada de
em relação a
é
. Então funciona bem definir
Aqui estou sugerindo
como uma nova variável que depende de
. A ideia da substituição é transformar a integral em uma em
, mais simples de calcular.
Passo 3
Calculemos
usando a regra da cadeia. Primeiro lembramos que
. Derivando em relação a
temos
Agora aplicamos a regra da cadeia para
:
Ou seja,
Passo 4
Isolamos o pedaço
em função de
:
Agora substituímos na integral original:
Passo 5
A integral em
é imediata, é a integral de uma constante:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito): derivando
usando a regra da cadeia obtemos
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta.