Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int \operatorname{cossec}(7 x) \cdot \operatorname{cotg}(7 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int \operatorname{cossec}(7 x)\cdot\operatorname{cotg}(7 x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{cossec}(7 x)\cdot\operatorname{cotg}(7 x).
  • Queremos uma primitiva (isto é, uma função cuja derivada seja a integranda) e acrescentar a constante de integração C.
  • O método exigido é o da Substituição.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição óbvia: observar que a derivada de \operatorname{cossec}(u) em relação a u é -\operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u). Então funciona bem definir
u=\operatorname{cossec}(7x).
Aqui estou sugerindo u como uma nova variável que depende de x. A ideia da substituição é transformar a integral em uma em u, mais simples de calcular.

Passo 3

Calculemos du usando a regra da cadeia. Primeiro lembramos que \operatorname{cossec}(t)=\dfrac{1}{\sin t}. Derivando em relação a t temos
\frac{d}{dt}\operatorname{cossec}(t) = -\operatorname{cossec}(t)\operatorname{cotg}(t).
Agora aplicamos a regra da cadeia para t=7x:
du = \frac{d}{dx}\big(\operatorname{cossec}(7x)\big)\,dx = \big(-\operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\big)\cdot 7\,dx.
Ou seja,
du = -7\,\operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\,dx.

Passo 4

Isolamos o pedaço \operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\,dx em função de du:
\operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\,dx = -\frac{1}{7}\,du.
Agora substituímos na integral original:
\int \operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\,dx = \int \left(-\frac{1}{7}\right)\,du.

Passo 5

A integral em u é imediata, é a integral de uma constante:
\int \left(-\frac{1}{7}\right)\,du = -\frac{1}{7}\,u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo u=\operatorname{cossec}(7x):
-\frac{1}{7}\,u + C = -\frac{1}{7}\,\operatorname{cossec}(7x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito): derivando -\dfrac{1}{7}\operatorname{cossec}(7x) usando a regra da cadeia obtemos
-\frac{1}{7}\cdot\big(-7\operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x)\big) = \operatorname{cossec}(7x)\operatorname{cotg}(7x),
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{7}\operatorname{cossec}(7x)+C

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