Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
\int 5 \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{5 x}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 5 \cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{5 x}{3}\right)\,dx.
Informações dadas: o integrando é 5 vezes a função \operatorname{sen} aplicada à expressão \frac{5x}{3}. O que se quer: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=5\operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{3}\right). A resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta como \operatorname{sen}(g(x)) multiplicada por um fator que é proporcional a g'(x), é eficiente fazer a troca u=g(x). Formalmente, se fizermos u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então integrais da forma
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx
podem ser reescritas como
\int f(u)\,du,
o que geralmente é mais simples. Aqui explico cada símbolo: g(x) é a função interior da composição, g'(x) é sua derivada, u é a nova variável e du é o diferencial correspondente.

Passo 3

Escolha da substituição: a parte interior da função seno é \frac{5x}{3}. Então faço
u = \frac{5x}{3}.
Agora calculo du. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{5}{3}\,dx.
Isolando dx em função de du,
dx = \frac{3}{5}\,du.

Passo 4

Troca na integral: substituo u no integrando e dx por \frac{3}{5}\,du. A integral vira
\int 5\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{3}\right)\,dx = \int 5\cdot \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{3}{5}\,du.
Simplificando o fator 5 com \frac{3}{5},
\int 5\cdot \operatorname{sen}(u)\cdot \frac{3}{5}\,du = 3\int \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integração da função em u: agora uso a regra básica
\int \operatorname{sen}(u)\,du = -\cos(u) + C,
porque a derivada de \cos(u) é -\operatorname{sen}(u), logo a antiderivada de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Aplicando isso ao nosso caso,
3\int \operatorname{sen}(u)\,du = 3\bigl(-\cos(u)\bigr) + C = -3\cos(u) + C.

Passo 6

Volto à variável original x substituindo u = \frac{5x}{3}. Assim a primitiva encontrada é
-3\cos\!\left(\frac{5x}{3}\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação): derivo a resposta para checar se recupero o integrando.
\frac{d}{dx}\left[-3\cos\!\left(\frac{5x}{3}\right)\right] = -3\cdot\bigl(-\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{5x}{3}\right)\bigr)\cdot\frac{5}{3} = 5\operatorname{sen}\!\left(\frac{5x}{3}\right),
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-3\cos\!\left(\frac{5x}{3}\right) + C

Exercícios relacionados