Resolva as integrais indefinidas a seguir pelo método da Substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é
vezes a função
aplicada à expressão
. O que se quer: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. A resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática): quando temos uma função composta como
multiplicada por um fator que é proporcional a
, é eficiente fazer a troca
. Formalmente, se fizermos
e
, então integrais da forma
podem ser reescritas como
o que geralmente é mais simples. Aqui explico cada símbolo:
é a função interior da composição,
é sua derivada,
é a nova variável e
é o diferencial correspondente.
Passo 3
Escolha da substituição: a parte interior da função seno é
. Então faço
Agora calculo
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
em função de
,
Passo 4
Troca na integral: substituo
no integrando e
por
. A integral vira
Simplificando o fator
com
,
Passo 5
Integração da função em
: agora uso a regra básica
porque a derivada de
é
, logo a antiderivada de
é
. Aplicando isso ao nosso caso,
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação): derivo a resposta para checar se recupero o integrando.
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.