Questão 1

Sejam os pontos A=(2,-3,1) e B=(3,5,-2). Determine a equação plano que contém o ponto B e é ortogonal à reta que passa por A e B.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,-3,1) e B=(3,5,-2) e pede a equação do plano que passa por B e é ortogonal à reta que une A a B. Em geometria analítica, um plano é ortogonal a uma reta quando o vetor diretor dessa reta é normal ao plano. Vamos usar a forma vetorial do plano
\mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_{0}})=0
em que \mathbf{n} é o vetor normal e \mathbf{r_{0}} é um ponto no plano.

Passo 2

Calcular o vetor direção da reta AB subtraindo as coordenadas de A de B:
\overrightarrow{AB}=B - A = (3-2,\;5-(-3),\;-2-1) = (1,8,-3).
Como o plano é ortogonal à reta, podemos escolher
\mathbf{n} = (1,8,-3)
como vetor normal do plano.

Passo 3

Usar a forma ponto-normal do plano com \mathbf{n}=(1,8,-3) e ponto B=(3,5,-2):
1\,(x-3) \;+\;8\,(y-5)\;-\;3\,(z+2)\;=\;0.
Expandindo e simplificando:
x - 3 + 8y - 40 - 3z - 6 = 0
x + 8y - 3z - 49 = 0.

Resposta

A equação do plano é
x + 8y - 3z - 49 = 0.

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