Dadas as funções vetoriais F(t)=\langle 2 t, t, 1\rangle e G(t)=\langle 0,3, \sqrt{t}\rangle e a função escalar h(t)=5 t, calcule:
\lim _{t \rightarrow 0}[h(t) G(t)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}[\,h(t)\,G(t)\,],
onde G(t)=\langle 0,3,\sqrt{t}\rangle e h(t)=5t.
O conteúdo aqui é o limite de uma função vetorial multiplicada por uma função escalar, e vamos usar a propriedade de que
\lim_{t\to a}[\,\varphi(t)\,\mathbf{v}(t)\,] =\Bigl(\lim_{t\to a}\varphi(t)\Bigr)\,\Bigl(\lim_{t\to a}\mathbf{v}(t)\Bigr).

Passo 2

Primeiro, formamos o produto escalar–vetorial:
h(t)\,G(t) =5t\;\langle 0,3,\sqrt{t}\rangle =\langle 5t\cdot 0,\;5t\cdot 3,\;5t\cdot \sqrt{t}\rangle =\langle 0,\;15t,\;5t\sqrt{t}\rangle.

Passo 3

Agora, calculamos o limite em cada componente quando t\to 0:
\lim_{t\to 0}0=0, \quad \lim_{t\to 0}15t=15\cdot0=0, \quad \lim_{t\to 0}5t\sqrt{t} =5\lim_{t\to 0}t^{3/2}=5\cdot0=0.

Resposta

\langle 0,0,0\rangle

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