Questão 5. Sejam pontos P1(1,-1,2), P2(2,3,1), e vetores v1=O P1, v2=O P2 onde O é a origem.
(1.0pt) Encontre uma equação cartesiana para o plano gerado por v1 e v2.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores v₁=OP₁ e v₂=OP₂, sendo P₁(1,−1,2) e P₂(2,3,1). O conteúdo envolvido é Equação de um plano no espaço, e vamos precisar do vetor normal obtido pelo produto vetorial de v₁ e v₂.

Passo 2

Para um plano que passa por um ponto P₀ e tem vetor normal n, a equação cartesiana é dada por n·(X−P₀)=0. Aqui P₀ é a origem O, logo a equação simplifica para n·X=0. Precisamos então de um vetor n perpendicular a v₁ e v₂, ou seja, n = v₁ × v₂.
Os vetores são v₁=(1,−1,2) e v₂=(2,3,1). O produto vetorial é
n = v1 times v2 = l(v1yv2z-v1zv2y,;v1zv2x-v1xv2z,;v1xv2y-v1yv2xr)=((-1)cdot1 - 2cdot3,;2cdot2 - 1cdot1,;1cdot3 - (-1)cdot2) = (-7,3,5)

Passo 3

Com o vetor normal n = (−7,3,5) e sabendo que o plano contém a origem, a equação cartesiana é n·(x,y,z)=0, ou seja,
-7x + 3y + 5z = 0

Resposta

-7x + 3y + 5z = 0

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