Questão 5. Sejam pontos , e vetores onde O é a origem.
(1.0pt) Encontre uma equação cartesiana para o plano gerado por v1 e v2.
Passo 1
O enunciado pede a equação cartesiana do plano que passa pela origem e é gerado pelos vetores v₁=OP₁ e v₂=OP₂, sendo P₁(1,−1,2) e P₂(2,3,1). O conteúdo envolvido é Equação de um plano no espaço, e vamos precisar do vetor normal obtido pelo produto vetorial de v₁ e v₂.
Passo 2
Para um plano que passa por um ponto P₀ e tem vetor normal n, a equação cartesiana é dada por n·(X−P₀)=0. Aqui P₀ é a origem O, logo a equação simplifica para n·X=0. Precisamos então de um vetor n perpendicular a v₁ e v₂, ou seja, n = v₁ × v₂.
Os vetores são v₁=(1,−1,2) e v₂=(2,3,1). O produto vetorial é
n = v1 times v2 = l(v1yv2z-v1zv2y,;v1zv2x-v1xv2z,;v1xv2y-v1yv2xr)=((-1)cdot1 - 2cdot3,;2cdot2 - 1cdot1,;1cdot3 - (-1)cdot2) = (-7,3,5)
Passo 3
Com o vetor normal n = (−7,3,5) e sabendo que o plano contém a origem, a equação cartesiana é n·(x,y,z)=0, ou seja,