Questão 6.
(1.5pt) Descreva a interseç̧ão entre a superfície Omega: x^2+y^2-z^2-6 x+8=0 e o plano Pi: y-12=0, determinando equação cartesiana e elementos básicos dessa intersecção, como eixo principal, centro, focos, vértices, assíntotas, se existirem.

Passo 1

A gente quer achar a intersecção da superfície Ω: x²+y²−z²−6x+8=0 com o plano Π: y−½=0. O conteúdo é seções cônicas: substituímos y=½ na equação da quadrică pra obter a curva no plano y=½.

Passo 2

Substituindo y=½ em x²+y²−z²−6x+8=0, vem: x²+(½)²−z²−6x+8=0, isto é, x²−6x+8+¼−z²=0.

Passo 3

Para colocar em forma canônica, completo quadrado em x: x²−6x = (x−3)²−9. Então a equação vira (x−3)²−9 +8+¼ − z² = 0, ou seja
(x-3)^2 - z^2 = 34

Passo 4

Essa é a forma canônica de uma hipérbole no plano y=½. O centro fica em (3,½,0), os eixos principais estão paralelos a x e z, com a²=¾ e b²=¾.

Passo 5

Para os vértices: a=√(¾)=√3/2, então V₁=(3+√3/2,½,0) e V₂=(3−√3/2,½,0). Para os focos: c=√(a²+b²)=√(3/2)=√6/2, logo F₁=(3+√6/2,½,0) e F₂=(3−√6/2,½,0). As assíntotas no plano y=½ são z=±(x−3).

Resposta

Equação cartesiana da interseção:
(x-3)^2 - z^2 = tfrac34,
com y = \tfrac12. Centro: (3,½,0). É uma hipérbole retangular com a²=b²=¾, eixo transverso paralelo a x. Vértices: (3±√3/2, ½, 0). Focos: (3±√6/2, ½, 0). Assíntotas: no plano y=½, z=±(x−3).

Exercícios relacionados