Questão 5. Sejam pontos P1(1,-1,2), P2(2,3,1), e vetores v1=O P1, v2=O P2 onde O é a origem.
(1.0pt) Encontre uma equação cartesiana para o plano ortogonal v2 e que passa por P1.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de um plano que é ortogonal ao vetor v₂= OP₂ e que passa pelo ponto P₁(1,−1,2). O conteúdo aqui é equação de plano em R³, e vamos precisar do vetor normal ao plano e de um ponto pertencente a ele.

Passo 2

O vetor normal ao plano é exatamente v₂, pois o plano é ortogonal a ele. Como P₂=(2,3,1), temos v₂= OP₂=(2,3,1).

Passo 3

Para escrever a equação do plano, usamos a forma ponto–normal: se n= (a,b,c) é normal ao plano e P₀=(x₀,y₀,z₀) é um ponto nele, então
a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)=0

Passo 4

Aqui, n=(2,3,1) e P₀=P₁=(1,−1,2). Substituindo em ponto–normal:
2(x-1)+3(y+1)+1(z-2)=0

Passo 5

Agora é só expandir e simplificar:
2x-2+3y+3+z-2=0
2x+3y+z-1=0

Resposta

2x + 3y + z - 1 = 0

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