Questão 6.
(1.5pt) Descreva a superfície de equação x^2+y^2+z^2-2 x+4 y-4=0; calcule sua distância ao ponto P(1,2,0).

Passo 1

O enunciado pede para descrever a superfície dada por
x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0
do ponto de vista geométrico (é uma esfera, plano, etc.) e depois calcular a distância desse conjunto ao ponto P(1,2,0). Vamos precisar usar completamento de quadrados para identificar centro e raio da esfera e depois a fórmula de distância entre pontos.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x e em y:
x^2-2x=(x-1)^2-1,
y^2+4y=(y+2)^2-4,
e z^2=(z-0)^2. Substituindo na equação original:
(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+z^2-4=0
Agrupando termos e passando as constantes para o outro lado:
(x-1)^2+(y+2)^2+z^2=1+4+4=9
Isso mostra que temos uma esfera de centro C=(1,-2,0) e raio R=3.

Passo 3

Para encontrar a distância do ponto P(1,2,0) ao centro C(1,-2,0), usamos a fórmula da distância entre pontos em R^3:
d=raiz(1-1)^2+(2-(-2))^2+(0-0)^2=raiz0+4^2+0=4

Passo 4

A distância do ponto P à superfície da esfera é a diferença entre d e o raio R. Como P fica fora da esfera ( d>R):
distância=d-R=4-3=1 â

Resposta

A superfície é a esfera de centro (1,-2,0) e raio 3. A distância do ponto P(1,2,0) à esfera é 1.

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