(2,0 pontos) Seja x_{0}=0.012, avalie a diferença entre r\left(x_{0}\right) e s\left(x_{0}\right) e apresente uma justificativa para a diferença detectada.

Passo 1

O enunciado dá o valor inicial \;x_{0}=0{,}012\; e pede para "avaliar a diferença entre \;r(x_{0})\; e \;s(x_{0})\;" e justificar a diferença detectada. Informação fornecida explícita:
  • \;x_{0}=0{,}012\;.
O que o enunciado pede:
  • Calcular numericamente a diferença \;r(x_{0})-s(x_{0})\;.
  • Apresentar uma justificativa para a diferença encontrada (por exemplo, explicar por que os valores diferem, se por erro numérico, aproximação, etc.).
Informações que faltam (essenciais para resolver):
  • Não há definição ou expressão de \;r(x)\;.
  • Não há definição ou expressão de \;s(x)\;.
Como essas definições não foram fornecidas, não há dados suficientes para calcular numericamente \;r(x_{0})\; nem \;s(x_{0})\;. Portanto, não é possível obter a diferença numérica exata pedida sem as fórmulas/valores de \;r e \;s.

Passo 2

O que seria necessário para calcular a diferença (lista clara e curta):
  1. As expressões matemáticas de \;r(x)\; e \;s(x)\; (por exemplo \;r(x)=\sin(x)\; e \;s(x)=x, ou qualquer outra).
  2. Se \;r e \;s forem resultados de aproximações numéricas, preciso saber o método e a precisão usada (por exemplo: séries truncadas, arredondamento a n casas, precisão de ponto flutuante).
  3. Se a justificativa exigir análise de erro, preciso do tipo de aproximação (ordem do método, termos omitidos, etc.).
Sem (1) não há como obter os números; sem (2) não há como explicar a fonte do erro com certeza.

Passo 3

Se eu tivesse as funções, o procedimento prático, passo a passo, para obter a diferença seria este — explico bem mastigado para você saber fazer na prova:
  1. Substituição direta: calcular \;r(x_{0})\; substituindo x=x_{0} na expressão de \;r(x)\; e calcular \;s(x_{0})\; substituindo x=x_{0} na expressão de \;s(x)\;.
  2. Subtração: computar a diferença \;r(x_{0})-s(x_{0})\;.
  3. Se as expressões envolverem operações que provocam perda de precisão (por exemplo subtrair números muito próximos), analisar formas algébricas equivalentes que evitem cancelamento (ver passo seguinte).
  4. Se for pedido justificar a diferença numericamente, calcular erro absoluto e erro relativo:
\text{erro absoluto} = |r(x_{0})-s(x_{0})|
\text{erro relativo} = \frac{|r(x_{0})-s(x_{0})|}{|r(x_{0})|} \quad\text{(se }r(x_{0})\neq0\text{)}

Passo 4

Aula rápida e prática sobre um problema muito comum em provas: perda de precisão por cancelamento ao subtrair números próximos. Vou mostrar o conceito e uma técnica para contornar — é útil para justificar por que duas avaliações numéricas podem diferir mesmo quando as expressões são equivalentes.
Conceitos importantes:
  • Erro absoluto: \;E_{\text{abs}}=|A_{\text{exato}}-A_{\text{aprox}}|\;.
  • Erro relativo: \;E_{\text{rel}}=\dfrac{|A_{\text{exato}}-A_{\text{aprox}}|}{|A_{\text{exato}}|}\; (quando denominador não nulo).
  • Cancelamento catastrófico: ocorre quando subtraímos dois números muito próximos; dígitos significativos são perdidos e o resultado perde precisão.
Exemplo didático (sem usar as funções do seu enunciado, só para treinar a técnica):
  • Função: \;\sqrt{1+x}-1\; para x pequeno (como \;x_{0}=0{,}012\;).
  • Se calcularmos diretamente \;\sqrt{1+x}-1\; com precisão limitada, há risco de cancelamento porque \sqrt{1+x} está perto de 1.
  • Técnica para evitar: racionalizar
\sqrt{1+x}-1 = \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}.
Essa segunda forma evita a subtração de dois números próximos e é numericamente mais estável.
Aplicando com \;x_{0}=0{,}012\; (só para ver a ideia):
  • \sqrt{1+0{,}012}\approx 1{,}005968, então \sqrt{1+0{,}012}-1\approx 0{,}005968.
  • Pela forma racionalizada: \dfrac{0{,}012}{1{,}005968+1}\approx \dfrac{0{,}012}{2{,}005968}\approx 0{,}005979 (valores aproximados ilustrativos). Note que dependendo da precisão de cálculo, uma forma pode ser mais precisa que a outra.
Outro exemplo útil: se \;s(x)\; for a aproximação linear de \;r(x)\; (linearização r(x)\approx r(0)+r'(0)x), então a diferença para pequeno x costuma ser da ordem de x^{2} (termos de segunda ordem), e você justificaria a diferença dizendo que foi desprezado O(x^{2}).

Passo 5

Como justificar a diferença na prova (guia prático para a resposta escrita):
  • Primeiro, escreva os valores numéricos: \;r(x_{0})=\cdots\; e \;s(x_{0})=\cdots\; (apenas se você de fato os calculou).
  • Calcule \;r(x_{0})-s(x_{0})\; e os erros absol./relativos conforme o passo 3.
  • Indique a fonte provável da diferença:
    • se as expressões são diferentes: então a diferença é matemática (explique term-by-term);
    • se uma é aproximação truncada: cite a ordem do termo omitido (por exemplo, termo O(x^{2}));
    • se o cálculo foi feito numericamente: discuta cancelamento, arredondamento, precisão da máquina (por exemplo, precisão de 10 dígitos), e se existe forma equivalente algébrica mais estável.
  • Se possível, apresente uma manipulação algébrica que mostre equivalência (ou não) e uma forma numericamente estável (como racionalizar ou usar séries).

Passo 6

Conclusão específica para este enunciado: sem as expressões de \;r e \;s\; não é possível fornecer o valor numérico de \;r(x_{0})-s(x_{0})\;. O que fiz acima foi:
  • listar o que falta (Passo 1),
  • explicar exatamente o que eu precisaria para calcular (Passo 2),
  • ensinar passo a passo como calcular e como justificar a diferença na prova (Passos 3–5),
  • dar exemplos didáticos de problemas típicos (cancelamento e racionalização) para você usar como justificativa quando apropriado.
Se você conseguir me mandar as expressões de \;r(x)\; e \;s(x)\;, eu calculo passo a passo a diferença para \;x_{0}=0{,}012\; e escrevo a justificativa detalhada pronta para a sua folha de prova.

Resposta

Não é possível avaliar a diferença entre r(x_{0}) e s(x_{0}) porque as funções r e s não foram definidas no enunciado.

Exercícios relacionados