(2,0 pontos) Seja
, avalie a diferença entre
e
e apresente uma justificativa para a diferença detectada.
Passo 1
O enunciado dá o valor inicial
e pede para "avaliar a diferença entre
e
" e justificar a diferença detectada. Informação fornecida explícita:
-
.
O que o enunciado pede:
- Calcular numericamente a diferença
. - Apresentar uma justificativa para a diferença encontrada (por exemplo, explicar por que os valores diferem, se por erro numérico, aproximação, etc.).
Informações que faltam (essenciais para resolver):
- Não há definição ou expressão de
. - Não há definição ou expressão de
.
Como essas definições não foram fornecidas, não há dados suficientes para calcular numericamente
nem
. Portanto, não é possível obter a diferença numérica exata pedida sem as fórmulas/valores de
e
.
Passo 2
O que seria necessário para calcular a diferença (lista clara e curta):
- As expressões matemáticas de
e (por exemplo e , ou qualquer outra). - Se
e forem resultados de aproximações numéricas, preciso saber o método e a precisão usada (por exemplo: séries truncadas, arredondamento a casas, precisão de ponto flutuante). - Se a justificativa exigir análise de erro, preciso do tipo de aproximação (ordem do método, termos omitidos, etc.).
Sem (1) não há como obter os números; sem (2) não há como explicar a fonte do erro com certeza.
Passo 3
Se eu tivesse as funções, o procedimento prático, passo a passo, para obter a diferença seria este — explico bem mastigado para você saber fazer na prova:
- Substituição direta: calcular
substituindo na expressão de e calcular substituindo na expressão de . - Subtração: computar a diferença
. - Se as expressões envolverem operações que provocam perda de precisão (por exemplo subtrair números muito próximos), analisar formas algébricas equivalentes que evitem cancelamento (ver passo seguinte).
- Se for pedido justificar a diferença numericamente, calcular erro absoluto e erro relativo:
Passo 4
Aula rápida e prática sobre um problema muito comum em provas: perda de precisão por cancelamento ao subtrair números próximos. Vou mostrar o conceito e uma técnica para contornar — é útil para justificar por que duas avaliações numéricas podem diferir mesmo quando as expressões são equivalentes.
Conceitos importantes:
- Erro absoluto:
. - Erro relativo:
(quando denominador não nulo). - Cancelamento catastrófico: ocorre quando subtraímos dois números muito próximos; dígitos significativos são perdidos e o resultado perde precisão.
Exemplo didático (sem usar as funções do seu enunciado, só para treinar a técnica):
- Função:
para pequeno (como ). - Se calcularmos diretamente
com precisão limitada, há risco de cancelamento porque está perto de . - Técnica para evitar: racionalizar
Essa segunda forma evita a subtração de dois números próximos e é numericamente mais estável.
Aplicando com
(só para ver a ideia):
-
, então . - Pela forma racionalizada:
(valores aproximados ilustrativos). Note que dependendo da precisão de cálculo, uma forma pode ser mais precisa que a outra.
Outro exemplo útil: se
for a aproximação linear de
(linearização
), então a diferença para pequeno
costuma ser da ordem de
(termos de segunda ordem), e você justificaria a diferença dizendo que foi desprezado
.
Passo 5
Como justificar a diferença na prova (guia prático para a resposta escrita):
- Primeiro, escreva os valores numéricos:
e (apenas se você de fato os calculou). - Calcule
e os erros absol./relativos conforme o passo 3. - Indique a fonte provável da diferença:
- se as expressões são diferentes: então a diferença é matemática (explique term-by-term);
- se uma é aproximação truncada: cite a ordem do termo omitido (por exemplo, termo
); - se o cálculo foi feito numericamente: discuta cancelamento, arredondamento, precisão da máquina (por exemplo, precisão de 10 dígitos), e se existe forma equivalente algébrica mais estável.
- Se possível, apresente uma manipulação algébrica que mostre equivalência (ou não) e uma forma numericamente estável (como racionalizar ou usar séries).
Passo 6
Conclusão específica para este enunciado: sem as expressões de
e
não é possível fornecer o valor numérico de
. O que fiz acima foi:
- listar o que falta (Passo 1),
- explicar exatamente o que eu precisaria para calcular (Passo 2),
- ensinar passo a passo como calcular e como justificar a diferença na prova (Passos 3–5),
- dar exemplos didáticos de problemas típicos (cancelamento e racionalização) para você usar como justificativa quando apropriado.
Se você conseguir me mandar as expressões de
e
, eu calculo passo a passo a diferença para
e escrevo a justificativa detalhada pronta para a sua folha de prova.
Resposta
Não é possível avaliar a diferença entre
e
porque as funções
e
não foram definidas no enunciado.