Questão: Que valores de c tornam a expressão \sum_{n=1}^{\infty}(1+c)^{-n}=\frac{1}{2} verdadeira?

Passo 1

Resumindo: temos a série \sum_{n=1}^\infty(1+c)^{-n} e queremos os valores de c tais que essa soma seja igual a \tfrac12. O conteúdo aqui é séries geométricas, então vamos usar a fórmula da soma infinita e a condição de convergência.

Passo 2

Denotamos a razão da série por
r = (1+c)^{-1}.
Para que \sum_{n=1}^\infty r^n converja, é preciso |r|<1, ou seja
|1+c|>1.

Passo 3

A fórmula da soma de uma série geométrica é
\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}.
Igualamos essa expressão a \tfrac12:
\frac{r}{1-r} = \frac12.

Passo 4

Resolvendo
\frac{r}{1-r} = \frac12
multiplicamos em cruz e obtemos
2r = 1 - r
3r = 1
r = \frac13.

Passo 5

Temos (1+c)^{-1} = \tfrac13, logo
1+c = 3
c = 2.
Verificamos |1+2|=3>1, então a série converge e de fato soma \tfrac12.

Resposta

c = 2

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