Questão: Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{2 n+5}\right) é convergente e justifique usando o teste que preferir.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\bigl(\tfrac{n}{2n+5}\bigr).
O conteúdo é séries numéricas e usaremos o teste da divergência (teste do termo geral): se o termo geral não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Denotando a_n = \ln\bigl(\tfrac{n}{2n+5}\bigr), reescrevemos
a_n = \ln(n) - \ln(2n+5) = -\bigl[\ln(2n+5)-\ln(n)\bigr] = -\ln\!\bigl(\tfrac{2n+5}{n}\bigr) = -\ln\!\bigl(2 + \tfrac{5}{n}\bigr).

Passo 3

Calculamos o limite de a_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_n = -\lim_{n\to\infty}\ln\!\bigl(2 + \tfrac{5}{n}\bigr) = -\ln(2 + 0) = -\ln(2).

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}a_n = -\ln(2)\neq 0,
a condição necessária para convergência de uma série não é satisfeita. Pelo teste da divergência, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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