Considere a equação diferencial a seguir:
y^prime prime-2 y^prime+y=0
Determine o par de soluções fundamentais dessa equação:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = 0
Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções fundamentais, que são as soluções básicas que formam a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. Isso é feito substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, temos:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática $ r^2 - 2r + 1 = 0 $. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, a equação pode ser fatorada facilmente:
r^2 - 2r + 1 = 0
Isso nos mostra que temos uma raiz dupla: $ r = 1 $.

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real e repetida $ r = r_1 $, as soluções fundamentais da equação diferencial são:
r = r1
y1(x) = e^r1 x
No nosso caso, $ r_1 = 1 $, então substituindo:
y2(x) = x e^r1 x
r1 = 1

Resposta

As soluções fundamentais da equação diferencial são:
y1(x) = e^x
e
y2(x) = x e^x

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