Questão 5 Sejam u=(0,-1) e v=(-1,2) vetores cujas coordenadas são dadas em relação a base canônica. Suponha que numa base G de R^2, temos u=(1,-1)G e v=(2,0)G são as representações respectivas de u ev na base G.
(a) Determine G.
(b) Escreva o vetor (2,5), cujas coordenadas são dadas em relação a base canônica, na base G.

Passo 1

O enunciado dá os vetores na base canônica
u = (0,-1), v = (-1,2)
e afirma que, na base G=g1,g2, suas coordenadas são
[u]G = (1,-1), [v]G = (2,0)
Queremos (a) determinar os vetores g1,g2 que formam G e (b) escrever (2,5) na base G.

Passo 2

As coordenadas em G significam
u = 1cdot g1 + (-1)cdot g2 = g1 - g2,
v = 2cdot g1 + 0cdot g2 = 2,g1

Passo 3

Da segunda relação segue
2,g1 = v = (-1,2) Longrightarrow g1 = tfrac12(-1,2) = l(-tfrac12,1r)
Substituindo na primeira relação
g1 - g2 = (0,-1) Longrightarrow g2 = g1 - (0,-1) = l(-tfrac12,1r) - (0,-1) = l(-tfrac12,2r)

Passo 4

Portanto a base G é
G = g1,g2 = ll(-tfrac12,1r),,l(-tfrac12,2r)r

Passo 5

Para escrever (2,5) em G procuramos alpha,beta tais que
alpha,g1 + beta,g2 = (2,5)
Isso gera o sistema
-tfrac12alpha - tfrac12beta = 2, alpha + 2beta = 5
Da primeira equação vem alpha+beta=-4. Substituindo na segunda:
(-4-beta)+2beta=5 Longrightarrow beta=9, alpha=-13

Resposta

(a) G = l(-tfrac12,1r),,l(-tfrac12,2r)
(b) (2,5) = (-13,,9)G.

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